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Función Cuadrática. Características Una función de la forma: f (x) = a x ² + b x + c con a, b y c pertenecientes a los reales y a ¹ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. En la ecuación cuadrática sus términos se llaman: si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta. Raíces Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prueba con el simulador anterior como varían las raíces de la función cambiando los valores de los términos Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces ax² + bx +c = 0 Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula: al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades: Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles. Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real. Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación: 1er caso: ax2 + bx = 0 2do caso: ax2 + c = 0 Simetría La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea Vértice El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale: Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función. En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación). Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera: Forma canónica y = a ( x - xv )2 + yv En éste caso intervienen los vértices de la parábola, para llegar a la función polinómica solo tienes que resolver primero el término que está entre paréntesis y elevado al cuadrado (binomio cuadrado) = 1ero al cuadrado - 2 por 1ero por el 2do + 2do al cuadrado. Una vez que está resuelto lo multiplicas por a al resultado y por último le sumas yv. Operas los términos semejantes y obtienes la función polinómica. 3 términos, uno cuadrático X^2, otro lineal X y el último independiente. Forma factorizada y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 ) En éste caso intervienen las raices, para llegar a la polinómica tienes que mulptiplicar entre si los términos que están entre paréntesis utilizando la propiedad distributiva y por último el resultado lo multiplicas por a. funcion polinómica y = ax2 + bx + c Cuando te presentan la función polinómica y te piden que la pases a factorizada, lo que debes buscar son las raices. Para ello utilizas la fórmula resolvente x = - b ±√b2 - 4. a . c 2 . a Una vez que tienes las raices, utilizas la fórma general de la función cuadrática factorizada y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 ) y remplazas el valor de las raices y del término a. Si te la piden en forma Canónica necesitas encontrar los vértices de la parabola y lo haces utilizando las raices x1 + x2 o - b = xv 2 2 . a y = x2 + 2x - 3 Yv = ( Xv )2 + 2 . ( Xv ) - 3