chelo22

Hola todos, por empezar les quiero dar la bienvenida a este post espero que sea de su agrado y que les sirva para orientarse si piensan seguir alguna carrera en la cual la matemática sea la herramienta cotidiana de todos los días. Seguro que si entraste a este post es porque alguna vez escuchaste hablar ya sea por tus amigos, por algún profesor de alguna materia en tu escuela o por algún familiar, del Limite de una función, la derivada de una función en un punto y la integral de una función, y en ese momento surgieron dos pensamientos en tu cerebro: uno puede haber sido "Todo esto debe ser un bardo terrible y no voy a entender nada aparte yo voy a estudiar corte y confección, asi que me importa un carajo" y otro puede haber sido "¿Que carajo es todo lo que dijo este flaco?", si el segundo fue el que surgió en tu cerebro talvez hayas sido capaz de ir y preguntar por cada uno de estos temas, acto seguido te explicaron y... o no entendiste nada y te sentiste re mongo o te quedo todo re claro así que podes seguir boludeando en Internet o chateando con las minitash! Si no casaste un fúlbo quédate que te voy a explicar estos tres conceptos si nada de símbolos, formulas o cosas raras como están en los "Hermosos" libros. Aclaro que no soy ningún Adrian Paenza, (Doctor en Matemáticas argentino) los temas van a ser tratados para que tengas una idea general, por supuesto que detrás de todo lo que voy a decir hay un soporte teórico hiperaburrido que si tenes ganas de torturar tu cerebro esta en cualquier libro de calculo avanzado, bueno basta de charla vamos a comenzar: Limite ¿Que es un Limite? ¿Lo que te ponen tus viejos cuando te queres ir de joda? ¿La linea que divide dos paises o dos provincias? ¿Lo que te pone alguna mina cuando te queres pasar de vivo? Bueno no precisamente... en calculo (rama de la matemática) la idea de Limite surge cuando nos queremos aproximar a algo, en cualquier dirección y sentido, tanto como nosotros queramos pero sin tocarlo, es decir que matemáticamente hablando yo me puedo acercar a un punto tanto como yo quiera, físicamente también se puede pero necesitamos instrumentos de mucha precisión. Pero veamos un gráfico para que lo vean mejor... como ven en el grafico nos podemos acercar a Xo tanto por izquierda como por derecha dando como resultado L osea el valor del limite que se anota de esta forma: y se dice: El limite de f(X) cuando X tiende a Xo es igual a L que es un numero real en este caso. Si el limite existe tiene que ser igual si me acerco tanto por izquierda como por derecha de lo contrario podemos afirmar que no existe el limite de dicha función en ese punto. calculemos un limite: f(x)=x+5 lim f(x) x->3 remplazamos: lim 3 + 5 = 8 pero hasta acá parece una estupidez es lo mismo que hacer f(3) remplazamos la x por el 3, sumamos y llegamos al mismo resultado sin necesidad de utilizar el limite, si es verdad pero veamos esto ahora... f(x)= 1/x lim f(x) x->0 remplazamos... lim 1/0 = ???? ¿Que paso?, nos quedo una división por 0 es decir que en el punto x=0 la función no esta definida entonces ¿que hacemos? ¿nos quedamos de brazos cruzados y nos lamentamos no poder averiguar como se comporta la función en x=0? NEGATIVO SEÑOR! y acá esta la verdadera potencia del limite, y es que nos permite saber analíticamente como se comporta una función alrededor de un punto sin tener en cuenta ni importar que pasa en dicho punto a través de acercamientos tanto de izquierda como por derecha. No lo vamos a resolver analíticamente porque ya estaríamos metiéndonos mucho en el tema, pero si lo vamos a hacer gráficamente para que tengan un idea... Esta es "aproximadamente" la gráfica de la función: Me salio muy fea pero tiene esa forma maso menos jajaj Si nos acercamos por derecha vemos que la función se va hacia el +infinito y si venimos por izquierda hacia el -infinito, en conclusión podemos decir que los limites laterales son distintos, por lo tanto como habíamos dicho mas arriba que los limites tanto por izquierda como por derecha deben ser iguales, podemos afirmar que no existe el limite de la función en x->0 (x tendiendo a 0). Las aplicaciones a la vida real del limite son prácticamente nulas pero nos sirve para definir los 2 teoremas que revolucionaron a la ingeniera y al mundo: La Derivada y la Integral. Derivada de una función Bien ahora vamos a pasar al concepto de derivada de una función en un punto. Halla por los años 1600 que te importa como decía el gran Ramón Valdez, sir. Isaac Newton (el vago de la manzana) quería encontrar una forma de describir el movimiento de los objetos a través del espacio-tiempo con alguna teoría matemática, suponiendo que después de diversos experimentos llego a la conclusión de que un cierto sistema acelerado en el vació se movía en el espacio-tiempo según la función representada mas abajo el tipo se planteo otro problema, bueno dijo...ahora ya se cuanto espacio en total recorrió mi sistema pero si ahora yo quiero saber cuanto espacio recorrió en un determinado tiempo ¿como lo haría? y propuso lo siguiente: supongamos que f(x) es el espacio recorrido, que el eje x es el tiempo empleado y que a y b es el intervalo de tiempo. Bueno si quiero saber cuanto espacio recorrió en un determinado tiempo quedara determinado por la pendiente de la recta azul así que tomo el espacio final f(x+h) le resto el inicial f(x) y todo eso sobre el tiempo h quedando algo así: claro pero esto es para un tiempo relativamente largo lo que no me permite saber si hubo otras variaciones de V entre medio de ese tiempo, bueno pero si yo ahora hago que h sea cada vez mas chiquito, es decir ME ACERCO A X TANTO COMO YO QUIERA PERO SIN TOCARLO haciendo que el tiempo se reduzca a valores próximos al cero, voy a poder obtener el espacio-tiempo recorrido en un instante ínfimo sin correr el riesgo de perderme variaciones en el camino lo que a su vez me va a dar la pendiente exacta de la recta azul que coincide con la variación exacta de espacio en ese instante ínfimo de tiempo. Entonces señores ¿Con que puedo acercarme a un punto tanto como yo quiera pero sin tocarlo?.... SI! CON EL LIMITE. A esto le dio el nombre de DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO y para este caso en particular lo llamo VELOCIDAD INSTANTÁNEA, quedando la derivada definida de la siguiente forma: y se le llama f prima o derivada primera de la función en el punto x. a f(x+h)-f(x) se le llamo DIFERENCIAL DE Y normalmente anotado como dy y a h se le llamo DIFERENCIAL DE X normalmente anotado dx por lo que también se puede definir a la derivada como f'(x) = dy/dx La grafica ahora es de esta manera: cabe destacar que ahora la recta azul es tangente a la curva, es decir la corta en un único punto para un instante de tiempo x. En resumen la derivada de una función nos da la idea da la VARIACIÓN de algo en un determinado tiempo en este caso, pero no siempre el tiempo es el factor principal o independiente. Entonces por ejemplo cuando nosotros viajamos por la ruta en el auto el velocímetro nos da una ida de cuanto varia nuestro espacio en un determinado tiempo ósea la velocidad!. La derivada es aplicable a todas las ingenierías, ya que la función de la que hablamos puede ser una función de población, una función de movimiento de un auto o de un avión, una función de un circuito eléctrico, una función de una reacción química etc. Integral de una función Pasemos al ultimo teorema fundamental del calculo que es la integral que aclaro no tiene nada que ver con el pan ni con el arroz. Entre Una de las tantas brillantes ideas de sir Isaac Newton estuvo la de calcular el área exacta de figuras que eran irregulares, que significa esto, figuras que no son ni triángulos, ni cuadrados, ni rectángulos ni figuras para las cuales ya se había determinado una formula especifica. Entonces supongamos que queremos calcular el área encerrada determinada por el intervalo a-b, una cierta función f(x) y el eje x según la siguiente grafica: pero no tenemos ninguna formula determinada para calcular ese tipo de área ¿Que podemos hacer? bueno, hagamos esto... dividamos la función en figuras conocidas y calculemos en base a ellas para poder aunque sea aproximar el valor del área, usemos como figura el rectángulo cuya formula de área es fácil y es (base X altura) quedando algo así: bueno entonces si ahora hacemos Xo+h - Xo entonces obtendremos la base y f(Xo) correspondería a la altura si multiplicamos f(Xo).(Xo+h - Xo) obtendremos el área de esa porción de figura, pero si ahora hacemos lo mismo con cada uno de todos esos rectángulos de la figura y luego sumamos todos los resultados nos daría un área relativamente aproximada a la que buscamos ya que como se puede ver en la imagen hay muchas porciones que no son tomadas en cuenta. Entonces quedaría esto: y se dice: la sumatoria desde 1 hasta n (cantidad total de rectángulos en la figura) de todas las áreas es igual al área total. Bueno esto fue una aproximación al área total, pero nosotros no queremos una aproximación, queremos el área exacta, entonces ¿Que podemos hacer para obtenerla? pensemos esto... si nosotros hiciéramos cada vez mas chiquita la base de los rectángulos en valores próximos al cero y manteniendo siempre la altura determinada por f(x) estaríamos eliminando los errores cometidos en el caso anterior, ya que si hacemos los rectángulos infinitamente pequeños nos estaríamos adaptando a la forma de la función obteniendo así EL AREA EXACTA DE LA FUNCION EN EL INTERVALO A-B y ¿como hacemos infinitamente pequeña la base? y si...ACERCANDONOS TANTO COMO QUERAMOS A Xo PERO SIN TOCARLO y ¿con que logramos esto? otra vez sopa... con la definición de LIMITE: ¿Se acuerdan a que era igual (Xo+h -Xo) o h como le llamábamos? bueno por sino se acuerdan era igual al diferencial de x o dx bueno remplazando en la formula de la sumatoria y agregando el limite quedaría algo así: y se dice que la sumatoria infinita de las infinitesimales áreas entre el intervalo a-b determinadas por el limite de f(Xo).dx cuando el diferencial de x tiende a 0 es igual al área exacta entre la función y el eje x o mejor conocido como LA INTEGRAL DEFINIDA DE f(x) EN EL INTERVALO A-B y para no escribir todo ese chirimbolo de arriba con sumatorias y limites se representa de esta forma: También se demostró que la integral es la operación inversa de la derivada, es decir si nosotros tenemos una función f(x) que determina la velocidad de un objeto en el tiempo si la integramos vamos a obtener la función que nos determina el espacio total que recorrió ese objeto, lo contrario a lo que definimos en derivada, cabe destacar que esta tipo de integral es del tipo INDEFINIDA ya que no nos da un numero exacto sino una ley general y a esa ley se le llama primitiva de f(x) o F(x) (nótese la f mayúscula). La integral tiene muchísimas aplicaciones a la ciencia ya que a través de ella se pueden calcular trayectorias de objetos, áreas y volúmenes y se utilizan mucho en electricidad, química, mecánica y física. Bueno espero no haberlos aburrido demasiado y que hayan entendido, lo explique de forma que lo entienda cualquier alumno de secundario finalizado se aceptan todo tipo de criticas y no se borran los comentarios digan lo que digan, ACA NO SE CENSURA A NADIE. Buena vida... fuente: YO