Hola, si seguís con atención el post, podés realizar cálculos de física cuántica (no, con matemática moderna, pero vale. Es fundamental saber que es una onda y sus propiedades, como numero de onda, frecuencia, amplitud, para mas info visite esta pagína de >> wikipedia (ver en la parte de elementos de onda) <<. En otras palabras te muestro los cálculos, pero hay toda una teoría que se desarrolló por lo menos en dos décadas que no voy a postear, porque se hace aburrido, es mucho trabajo y nadie lo va a leer, en fin...
tenemos que saber un poco de
Números complejos:
Como todos sabemos, existen los números reales entre ellos los racionales e irracionales. Por ejemplo:
√4 tiene solución un número entero, √3 tiene solución un número irracional o 2/4 tiene como solución un número fraccional.
Pero si tenemos √-1 no encontramos solución en nuestros conjuntos, por lo tanto se inventó otro que si dá solución y es el conjunto de los complejos que a la vez abarca a todos los demás números.
o mejor dicho: √-1 = i => √-n = √[n(-1)] = √n.√-1 = √n.i
Un número complejo tiene parte real e imaginaria, es como un vector de dos dimensiones, un vector de dos dimensiones tiene componentes x e y, o sea:
x = 2, y = 3:
De forma análoga se puede representar al número complejo como a un vector. Si definimos a Z como número C con parte real e imaginaria tenemos:
z = a + bi = (a;b) Acá el real es a y el imaginario es b.
Del gráfico de arriba el número C lo representa la flechita que apunta hacia arriba y el opuesto, o sea lo que apunta hacia abajo es su complejo conjugado.
Qué es el complejo conjugado?
Nada, el complejo conjugado tiene la misma parte real y sus partes imaginarias son opuestas.
Definiendo:
También hay que saber hacer
Derivadas parciales
Una función se puede representar en términos de sus variables, por ejemplo, f(x) donde f es en función de x , f(x,y) es en función de x y de y. Cuando se deriva una función, se deriva parcialmente porque no se puede derivar la función en función de x y de t, se deriva de x o de t.
Matemáticamente las funciones periódicas se representan en términos de la posición de una partícula / ente y el tiempo, una función que representa la posición en coordenadas tridimensionales y el tiempo de una partícula / ente suele escribirse de la siguiente forma: f(x,y,z,t). Se dice que con esta función se conoce todo acerca de la partícula / ente.
Las derivadas de estas funciones se denotan con la letra Jacobiana ∂
Escribí "ente" porque las partículas muy pequeñas tambien actúan de forma ondulatoria, entonces son partículas pero no actúan como un punto que se puede representar en un plano (como en la mecánica de Newton) porque presentan propiedades ondulatorias.
Ejemplo:
¿Ves como derivé en función de una e ignore la otra?
Bueno eso es derivar parcialmente, se usa en las ecuaciones de la mecánica cuántica.
OK, sigamos.
La función de onda:
La función de onda se la representa como describe la distribución de encontrar una partícula en el espacio. Si queremos conocer la posición de una partícula subatómica tendremos incertidumbre porque el tamaño de estas son muy pequeñas y existen ciertas invarianzas.
Existen dos ecuaciones que fueron las primeras y por eso las más importantes:
La ecuación de Shrodinger:
La ecuación de Dirac:
La segunda ecuación devela la existencia de la antipartícula del electron, el positrón, pero por ahora no nos interesa, vamos a realizar algunos cálculos con la primera.
Como se llega a la ecuación de Schrondinger?
Hay que prestar mucha atención en como se desarrolla esto, mirá:
Una ecuación mecánico-cuántica de onda debe cumplir con cuatro condiciones
1. Deberá ser coincidente con los postulados de de Broglie-Einstein.
y
2. Deberá ser coincidente con la ecuación
3. Deberá ser lineal en Ψ(x,t). Si existen dos soluciones de Ψ(x,t), por ejemplo:
y
Tendríamos:
4. La energía potencial U generalmente es una función de x y posiblemente de t. Sim embargo, existe un caso especial importante cuando una partícula se encuentra en estado definido de energía, en otras palabras su energía no cambia.
Utilizando las relaciones de de Broglie-Einstein de la suposición 1, para escribir la ecuación de energía de la suposición 2 en términos de λ y v (frecuencia), se obtiene:
Introduciéndolas se obtiene la ecuación (*)
donde
Para la función de onda se utiliza la siguiente expresión:
Con esta ecuación podemos cumplir con el 4 requisito, debe cumplir que sea lineal.
Para obtener una ecuación lineal y continua se tiene que llegar a una ecuación de la siguiente forma:
Sé que parece díficil, pero no trates de comprenderla aún, vamos a seguir el desarrollo y luego a hacer algunos ejemplos.
Para encontrar los valores de alfa α y beta β procedemos a realizar las siguientes operaciones. A las siguientes derivadas parciales
las reemplazamos en la ecuación anterior:
o bien:
para que la igualdad anterior ocurra, los coeficientes de los senos y cosenos deben ser cero.
Entonces se obtiene
Ecuación I, II, III:
La tercera es el producto de restar la primera con la segunda.
despejando se obtiene el valor de gamma γ:
de modo que
donde i es el número imaginario. Substituyendo este resultado en la ecuación I se obtiene
que se puede comparar directamente con la ecuación
con esta
para obtener
y
o
Existen dos posibilidades para el signo del número imaginario y resulta que no es importante la elección que se haga por lo que se seguirá la convención de escoger el signo más. Entonces de da β=+iħ y con se pueden evaluar todas las constantes que aparecen en la forma supuesta de la ecuación diferencial. Entonces
resulta en
Esta ecuación diferencial satisface las cuatro suposiciones hechas para la ecuación de onda mecánico-cuántica.
Por fin, se encontró la ecuación que hizo que Schrodinger ganara el premio nobel de física en 1933 y que dió inicio junto con otros mosntruos de la época a la Mecánica Cuántica!
La forma más sencilla de la ecuación de Schrodinger es el de una partícula que solo se mueve en una dimensión, paralela al eje x, por lo que la función de onda espacial ψ solo es en función de x. Sopongamos que la partícula sólo se mueve en presencia de una fuerza conservativa que solo tiene una componente x, por lo que está la energía potencial correspondiente U(x). La ecuación de Schrodinger para esa partícula, con energía definida E, es
Ya se, es muy denso, pero con los ejercicios vamos a reforzar todo lo anterior y comprenderemos más la ecuación de Schrodinger.
Ecuación de onda para una partícula libre
Para una partícula libre que no esté sometida a fuerza alguna, diremos U(x) = 0. Si esa partícula se mueve en la dirección +x, su energía ccinética (y por lo tanto su energía total) es E=(p^2)/2m. Esta partícula está en un estado de energía definida (un estado estacionario).
De acuerdo con las ecuaciones de De Broglie, la partícula tiene una longitud de onda definida, λ=h/p y una frecuencia definida f=E/h.
Siendo A y B constantes.
Para que la función de onda de la ecuación pueda estar en la forma de estado estacionario tenemos que reemplazar B por iA, entonces:
En la ecuación hemos aplicado de nuevo la ecuación de Euler, que establece que para cualquier ángulo θ,
de donde
y reemplazando en la ecuación de Schrodinger, con U(x)=0 :
El lado derecho de la ecuación es Eψ(x). Como E=p^2/2m, vemos que la función de onda de la partícula libre satisface la ecuación de Schrodinger.
Otro ejemplo más:
Probabilidad y Normalización
Vamos a usar la definición del complejo conjugado.
La probabilidad de encontrar una partícula en algun sector se resume a |ψ(x) |^2, que es la distribución de probabilidad, por ejemplo:
Para una función de onda independiente del tiempo en un estado estacionario
El complejo conjugado de esta ecuación es
Por consiguiente
En estadisticas la probabilidad de encontrar algo en algún lugar se resume a 1, obtener 1 es la probabilidad total. Si queremos encontrar una partícula, la probabilidad total de encontrarla en algun lugar sobre todo el eje x es necesariamente igual a uno. Esta probabilidad total se puede obtener matemáticamente integrando la función densidad de probabilidad P sobre toda x. Haciendo esto e igualando el resultado a uno se obtiene:
Este gráfico es la representación de la posición de una partícula. Allí donde se encuentran los picos más elevados es más problable de encontrar a la partícula.
Ejercicio :
Una partícula en movimiento en una dimensión ( el eje x ) se describe por la función de onda
donde b=2.00 m^-1, A>0 y el eje x apunta hacia la derecha.
a. Determine A de manera que se normalice la función de onda.
b. Grafique la función de onda.
c. Calcule la probabilidad de encontrar esta partícula en cada una de las siguientes regiones:
i) dentro de los 50 cm del origen.
ii) del lado izquierdo del origen.
iii) Entre x=0.5m y x=1m
a)
b)
c.i)
c.ii)
c.iii)
Para completar el post, dejo un video de "El Universo Mecánico".
Bueno, hasta acá llego, la finalidad de este post es que se vea que no es tan complicado como parece. Las imagenes de los cálculos fueron hechas y subidas por mí y la información de los libros:
Dejo un video sobre la fisión nuclear :
Taringueros que no les interese a abstenerse de comentar .
Chau!