¿Por qué menos por menos da más?
Cuando estudiamos matemática (y cuando enseñamos también) a muchos de nosotros nos agrada que todo aquello de lo que estamos viendo tenga una demostración y no solo aceptar de buena fe lo que de nuestros educadores parte. Si bien esto casi siempre es así, hay situaciones en donde la justificación se deja de lado y se pasa directamente a la enunciación de una regla de la cual desconocemos su origen o cuanto menos una simple explicación de porqué es así.
Un ejemplo de esto es la tan conocida regla de los signos para el producto y la división (está última es la operación inversa de la multiplicación y por lo tanto su justificación se desprende a partir de la de esta) y en particular el caso de que menos por menos da más.
¿Cómo puede ser que dado dos números negativos cuando los multiplico se conviertan automáticamente en un número positivo?
Generalmente se asocia a la multiplicación con el hecho de hacer crecer o incrementar ya sea un valor positivo o una deuda, por lo cual este caso se manifiesta contrario a la intuición que tenemos de esta operación.
Veamos ahora algunas justificaciones al respecto de esto:
Por algún lado escuché la siguiente analogía.
Los amigos de mis amigos son mis amigos
Los amigos de mis enemigos son mis enemigos
Los enemigos de mis amigos son mis enemigos
Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos
Esta podría ser una original forma de justificar una regla matemática, si no fuera porque de matemática tiene muy poco. Así que traté de investigar un poco más y encontré lo siguiente:
3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco dólares tienes 15 dólares.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco dólares es como pagar una multa de 15 dólares.
(-3) × 5 = -15: Que no te den tres veces cinco dólares es como que no te den 15 dólares.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco dólares es como que te den 15 dólares.
Israel Geland. "The Riemann Hypothesis. The Greatest Unsolved Problem in Mathematics".
Bueno va mejorando, pero hay más. En un programa de televisión (Científicos Industria Argentina) escuché la siguiente justificación a este mismo tema:
Imaginemos que vamos conduciendo un vehículo por una ruta a cuarenta kilómetros por hora, al cabo de tres horas recorrimos:
3 x 40 = 120 (kilómetros hacia delante)
De manera similar podemos analizar que si venimos andando desde hace tiempo y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas:
(-3) x 40 = -120 (kilómetros hacia atrás)
Y si en vez de ir hacia delante íbamos marcha atrás. Al cabo de tres horas habremos recorrido:
3 x (-40) = -120 (kilómetros hacia atrás)
Y ahora: ¿si venimos andando desde hace tiempo pero marcha atrás y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas?
(-3) x (-40) = 120 (kilómetros hacia delante)
Todo esto está muy bonito, pero para aquellos que todavía no se convencieron y quieren algo con más fundamento matemático paso a dar la siguiente demostración del caso particular menos por menos (los otros tres casos se deducen sin dificultad de la definición de producto en naturales y la propiedad conmutativa de la multiplicación).
-1 es el inverso aditivo del 1, entonces, por definición se verifica
1 + (-1) = 0
Multiplicamos por (-1):
(-1)(1 + (-1)) = (-1)0
Pero 0 por cualquier cosa es 0
(-1)(1 + (-1)) = 0
Por ley de distributiva de la multiplicación en la suma
(-1) + (-1)(-1) = 0
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
1 + (-1) + (-1)(-1) = 1
Como 1 + (-1) = 0 entonces
0 + (-1)(-1) = 1
Entonces
(-1)(-1) = 1
Ahora, todo número real -p < 0 se puede expresar por (-1)p. Entonces si multiplicamos dos números con signo negativo se verifica
(-p)(-q) = (-1)p(-1)q
Por ley conmutativa en la multiplicación eso equivale a
(-p)(-q) = (-1)(-1)pq
Pero (-1)(-1) = 1, entonces
(-p)(-q) = 1pq
pero 1 es el neutro multiplicativo, entonces
(-p)(-q) = pq
Cuando estudiamos matemática (y cuando enseñamos también) a muchos de nosotros nos agrada que todo aquello de lo que estamos viendo tenga una demostración y no solo aceptar de buena fe lo que de nuestros educadores parte. Si bien esto casi siempre es así, hay situaciones en donde la justificación se deja de lado y se pasa directamente a la enunciación de una regla de la cual desconocemos su origen o cuanto menos una simple explicación de porqué es así.
Un ejemplo de esto es la tan conocida regla de los signos para el producto y la división (está última es la operación inversa de la multiplicación y por lo tanto su justificación se desprende a partir de la de esta) y en particular el caso de que menos por menos da más.
¿Cómo puede ser que dado dos números negativos cuando los multiplico se conviertan automáticamente en un número positivo?
Generalmente se asocia a la multiplicación con el hecho de hacer crecer o incrementar ya sea un valor positivo o una deuda, por lo cual este caso se manifiesta contrario a la intuición que tenemos de esta operación.
Veamos ahora algunas justificaciones al respecto de esto:
Por algún lado escuché la siguiente analogía.
Los amigos de mis amigos son mis amigos
Los amigos de mis enemigos son mis enemigos
Los enemigos de mis amigos son mis enemigos
Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos
Esta podría ser una original forma de justificar una regla matemática, si no fuera porque de matemática tiene muy poco. Así que traté de investigar un poco más y encontré lo siguiente:
3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco dólares tienes 15 dólares.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco dólares es como pagar una multa de 15 dólares.
(-3) × 5 = -15: Que no te den tres veces cinco dólares es como que no te den 15 dólares.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco dólares es como que te den 15 dólares.
Israel Geland. "The Riemann Hypothesis. The Greatest Unsolved Problem in Mathematics".
Bueno va mejorando, pero hay más. En un programa de televisión (Científicos Industria Argentina) escuché la siguiente justificación a este mismo tema:
Imaginemos que vamos conduciendo un vehículo por una ruta a cuarenta kilómetros por hora, al cabo de tres horas recorrimos:
3 x 40 = 120 (kilómetros hacia delante)
De manera similar podemos analizar que si venimos andando desde hace tiempo y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas:
(-3) x 40 = -120 (kilómetros hacia atrás)
Y si en vez de ir hacia delante íbamos marcha atrás. Al cabo de tres horas habremos recorrido:
3 x (-40) = -120 (kilómetros hacia atrás)
Y ahora: ¿si venimos andando desde hace tiempo pero marcha atrás y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas?
(-3) x (-40) = 120 (kilómetros hacia delante)
Todo esto está muy bonito, pero para aquellos que todavía no se convencieron y quieren algo con más fundamento matemático paso a dar la siguiente demostración del caso particular menos por menos (los otros tres casos se deducen sin dificultad de la definición de producto en naturales y la propiedad conmutativa de la multiplicación).
-1 es el inverso aditivo del 1, entonces, por definición se verifica
1 + (-1) = 0
Multiplicamos por (-1):
(-1)(1 + (-1)) = (-1)0
Pero 0 por cualquier cosa es 0
(-1)(1 + (-1)) = 0
Por ley de distributiva de la multiplicación en la suma
(-1) + (-1)(-1) = 0
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
1 + (-1) + (-1)(-1) = 1
Como 1 + (-1) = 0 entonces
0 + (-1)(-1) = 1
Entonces
(-1)(-1) = 1
Ahora, todo número real -p < 0 se puede expresar por (-1)p. Entonces si multiplicamos dos números con signo negativo se verifica
(-p)(-q) = (-1)p(-1)q
Por ley conmutativa en la multiplicación eso equivale a
(-p)(-q) = (-1)(-1)pq
Pero (-1)(-1) = 1, entonces
(-p)(-q) = 1pq
pero 1 es el neutro multiplicativo, entonces
(-p)(-q) = pq