(psicologia inversa)
Bueno ! gente hoy les traigo la primera formula matematica que hago : Unidimensional
ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL
VARIABLE ALEATORIA Y VARIABLE ESTADISTICA
Dado un experimento aleatorio, los posibles resultados que puedan ocurrir son sucesos que dependen del azar y que dan lugar a una variable cuyos valores tendrán una cierta probabilidad de repetirse. Estas nuevas variables se llaman variables aleatorias.
Por contra, si tomamos muestras en un experimento realizado, esos resultados reales conforman lo que se denomina variable estadística.
Los conceptos variable aleatoria y probabilidad son conceptos teóricos que resultan de una abstracción hecha sobre los conceptos de variable estadística y frecuencia, conceptos estos últimos que se consideran después de la ejecución del experimento, mientras que los primeros se consideran antes de la ejecución.
Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número finito de valores.
MEDIDAS DE CENTRALIZACION
Una medida de centralización es un valor, que es representativo de un conjunto de datos y que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos, ordenados según su magnitud.
Mediana
Es el valor de la variable estadística que divide en dos partes iguales a los individuos de una población, supuestos ordenados en orden creciente. En general, es el valor donde la función de distribución F(x) toma el valor 1/2, pero así definida puede no ser única en cuyo caso se toma la media aritmética de los valores de mediana, o no existir en cuyo caso se toma como mediana el valor de la población más cercano a esa mediana 'ideal'.
Moda
Es el valor más frecuente de la variable estadística; valor que se corresponde al máximo del histograma.
Si la variable es discreta, puede darse el caso de que haya más de una mediana.
Media aritmética
Es la suma de los productos de los posibles valores que tome la variable xi, entre el número de valores que esa variable contenga.
MEDIDAS DE DISPERSION
Son medidas que representan el grado en el que los valores numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio.
Recorrido
Es la diferencia entre el mayor y menor valor de una variable estadística.
Varianza.
Una forma natural de medir la dispersión en torno a la media es calcular la media de las diferencias:
pero como habrá valores por encima y por debajo de la media que se compensarán, calcularemos mejor el cuadrado de las diferencias. Se define así varianza de una variable estadística, como la media de los cuadrados de las desviaciones de sus valores respecto a su media. Se representa por s2:
Se distingue aquí entre los casos de variable estadística y variable aleatoria. En el primer caso, tendremos una serie de valores concretos, de los que vamos a calcular su varianza, la varianza muestral. La fórmula es la que se acaba de expresar. En el caso de variable aleatoria, estaremos calculando una varianza estimada, ya que no estamos tomando muestras de un conjunto de datos inmenso y por lo tanto la media y varianza son estimadas, no conocidas. La expresión que la define cambia en un pequeño detalle: en vez de dividir el resultado de la suma entre (n-1), se divide entre (n), así:
Desviación típica (o estándar).
Es la raíz cuadrada de la varianza.
Al igual que con la varianza, se distinguen los casos de variables aleatorias y estadísticas. En esta fórmula se expresa también la desviación típica muestral, que es la que usaremos.
Coeficiente de variación.
Es el cociente entre la desviación típica y la media. Eliminamos con esta medida la influencia de la escala escogida en las mediciones efectuadas.
EXPERIMENTOS BIVARIANTES
Hasta ahora se han considerado experimentos en los que tomábamos una sola medida o valor en cada ensayo. Pero muy corrientemente, al efectuar un experimento, se deben medir dos características. Estos experimentos se conocen por el nombre de bivariantes. Por ejemplo en un grupo de personas se miden el peso y la altura.
El objeto de un experimento bivariante es determinar si hay alguna relación entre las variables que se miden. Y si la hay, intentar calcular:
* Una medida de ese grado de relación.
* Una ecuación matemática que describa con mayor o menor exactitud esa relación.
A una de las variables (por ejemplo la X) se le denomina variable independiente, mientras que a la otra (la Y) se le denomina variable dependiente.
Se usa el término correlación cuando se habla de relaciones entre variables de experimentos bivariantes.
COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL
Es una medida del grado de asociación lineal entre las variables X e Y. Se representa por r:
donde sx, sy son las desviaciones típicas de las variables X e Y respectivamente, y Sxy es la covarianza muestral de X e Y, que se define como la media de los productos de las desviaciones correspondientes de X e Y y de sus medias muestrales.
Propiedades
* r está siempre comprendido entre -1 y 1.
* Si r = 1 ó r = -1 entonces los puntos de la muestra están situados en línea recta (correlación lineal perfecta).
* Si r está próximo a 1 ó a -1, habrá una asociación lineal fuerte entre ambas variables.
* Si r es cercano a 0, habrá una asociación lineal muy débil.
* r no varía cuando en las variables se realiza un cambio de escala o de origen. Esto demuestra que r no tiene dimensión.
Dos consideraciones sobre el coeficiente de correlación.
1. Se trata de una medida matemática que luego hay que interpretar. Aunque un alto grado de correlación indique buena aproximación a un modelo matemático lineal, su interpretación puede no tener ningún sentido. Por ejemplo puede haber un alto grado de correlación entre el número de usuarios de IDL y el consumo de alcohol en Rusia, pero ambas variables están claramente disociadas.
2.Aunque el grado de correlación sea cercano a cero (pobre aproximación al modelo lineal) eso no significa que no haya relación entre las dos variables. Puede ser que dicha relación sea no lineal.
MATRIZ DE CORRELACION
Sea un experimento de n variables (X1, X2, ... Xn). Podemos ordenar en una matriz los diferentes coeficientes de correlación de cada variable con el resto y consigo misma, obteniendo una matriz con cada elemento igual a:
El resultado es una matriz simétrica, con la diagonal principal igual a 1.
MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA
Sea un experimento de n variables (X1, X2, ... Xn). Podemos ordenar en una matriz las diferentes covarianzas entre variables y varianzas de variables.
Significado de la varianza y la covarianza
Sean dos nubes de puntos (representadas como en la figura, por elipsoides que las rodean). La varianza es una medida de la dispersión. Las variables X e Y tienen ambas la misma varianza en el caso de la elipse y del círculo, pero la covarianza en el círculo es cero y la de la elipse es más o menos alta, y positiva.
Relación entre matriz de varianza-covarianza y matriz de correlación
Si las n variables tienen medidas incompatibles (kg, m, s, ...) las varianzas no son comparables. Entonces se recurre a la matriz de correlación. Las correlación es la covarianza medida para valores estandarizados. Por eso la correlación de una variable consigo misma da uno; es la varianza de cualquier variable estandarizada.
TRANSFORMACION DE KARHUNEN-LOEVE
También llamada transformación de Hotelling ó Análisis de Componentes Principales. El origen de esta técnica suele asociarse a la publicación de un artículo de K. Pearson en 1901. Sin embargo, el nombre de componentes principales y su primer desarrollo teórico no aparecen hasta 1933, en un artículo de Hotelling. Es bastante empleada en ciencias sociales y naturales, cuando se trata de resumir un grupo amplio de variables en un nuevo conjunto, más pequeño, sin perder una parte significativa de la información original. Consiste en definir el número de dimensiones que están presentes en un conjunto de datos y buscar los coeficientes que especifican la posición de los ejes que apuntan en las direcciones de máxima variabilidad de los datos.
Su origen está en la redundancia que hay muchas veces entre distintas variables. La redundancia son datos, no información. Lo que se pretende es:
* Facilitar el estudio de las relaciones existentes entre las variables.
* Facilitar el análisis de la dispersión de las observaciones (poniendo en evidencia posibles agrupamientos, detectando las variables que son responsables de dicha dispersión).
FORMULACION DESCRIPTIVA
En un sistema multivariante, la forma de la elipse n-dimensional está definida por la matriz de varianza-covarianza calculada para las n variables. La varianza es proporcional a la dispersión de puntos en la dirección paralela al eje de esa variable. La covarianza define la forma de esa elipse (más o menos afilada). Si las variables no tienen dimensiones comparables, las varianzas tampoco se pueden comparar. Por eso se recurre a la matriz de correlación, ya que el coeficiente de correlación no es sino la covarianza medida para valores estandarizados (normalizados zi),
por eso la diagonal principal es todo unos. Por tanto utilizaremos si podemos, la matriz de varianza-covarianza, y si no, la de correlación.
En la figura vemos cómo la dispersión de las variables X e Y permite que efectuando una transformación que pase de X e Y a A y B, se consigue obtener dos variables nuevas tal que casi toda la varianza (la información) se sitúa en la variable A y muy poca en la B. Además, la correlación de X e Y era alta, mientras que la de A y B es matemáticamente cero.
A partir de esas matrices, se calculan sus valores y vectores propios. Los valores propios dan la longitud de los ejes principales de la elipsoide n-dimensional. Los vectores propios apuntan precisamente en las direcciones de esos ejes principales. Además, equivalen a los coeficientes de regresión en una transformación lineal estándar, siendo las variables a transformar las variables independientes y las componentes principales, las dependientes.
Las nuevas variables así obtenidas, pierden el sentido físico que pudieran tener las variables originales.
FORMULACION MATEMATICA
Notación y ordenamiento de los datos
Sea una serie de datos, en este caso bidimensionales (una imagen) de la forma:
Podemos ordenar esa matriz en forma de un vector, bien poniendo una fila tras otra, o bien por columnas. Lo importante no es tomar uno u otro tipo de ordenación sino que éste sea consistente con todas las imágenes que vayan a participar en la transformación.
En definitiva se trata de obtener:
Donde podemos expresar ese vector en función de un sólo subíndice:
Como tendremos varias imágenes, para diferenciar unas de otras en la notación, introducimos como subíndice los números '1', '2', '3', etc. para las distintas imágenes. Nótese que ahora el elemento x11 no representa el valor del píxel de la fila 1, columna 1, sino que de la imagen 1 es el píxel 1 (ahora es un vector, no una matriz de dos dimensiones). Así:
El primer paso consiste en hallar la matriz de correlación de estas variables.
Cálculo de la matriz de correlación
Se puede efectuar de dos formas:
1. Con los datos originales
Con lo cual se aplica la fórmula de cálculo del coeficiente de correlación lineal entre dos variables (coeficiente de correlación de Pearson):
Coeficiente de correlación entre las variables Xa y Xb se denota rab y se define como:
donde Sxa, Sxb son las desviaciones típicas de las variables Xa y Xb respectivamente y Sxaxb es la covarianza muestral. Nos limitaremos a poner la fórmula completa para r, que quedaría de la forma:
Coeficiente, que como ya se explica en el apartado correspondiente al tema, está comprendido siempre en el rango [-1, 1] con los consiguientes significados matemáticos.
La matriz de correlación se forma entonces ordenando los distintos coeficientes de correlación en una matriz de filas y columnas de la forma:
A priori ya podemos conocer dos cosas de M: que esta será simétrica, ya que rab = rba y que la diagonal principal será todo unos, esto porque raa = 1.
2. Con los datos normalizados
La otra posibilidad para calcular la matriz de correlación evitándonos esa fórmula relativamente complicada, es hallando la matriz de varianza-covarianza para los datos normalizados.
* Normalización de los datos
Se calculan primeramente las estadísticas básicas de cada variable Xa, su media y desviación estándar:
Con esos datos, ya podemos estandarizar las distintas variables (recordemos que al estandarizar estamos transformando ese conjunto de datos en otro, con media cero y desviación estándar uno. Pasamos de la variable Xa a la Za, y así con todas, pasando cada valor de esta forma:
A partir de las variables estandarizadas Z1, Z2, Z3, ..., Zp, se calculan sus varianzas (evidentemente dan uno) y las covarianzas entre variables:
Ordenando esos valores en forma de matriz, con filas y columnas representando variables, en virtud de la relación entre la matriz de varianza-covarianza y la matriz de correlación tendremos ya calculada la matriz de correlación:
1. Una tercera forma de calcular la matriz de correlación a partir de las variables estandarizadas es ordenar primeramente dichas variables estandarizadas en forma de matriz (por ejemplo por filas):
Y efectuar la siguiente operación matricial:
Donde Zt significa matriz traspuesta. Este resultado también se corresponderá con la matriz de correlación que queremos calcular.
Valores y vectores propios
El siguiente paso es calcular los valores y vectores propios de la matriz de correlación calculada. Los valores propios son las raíces del polinomio:
I representa la matriz identidad, de las mismas dimensiones que la matriz M. Esta expresión da como resultado un polinomio cuyas raíces serán los valores propios de M, que se denotan como ll, l2, ..., li.
Los vectores propios asociados a esos valores propios, se calcularán sustituyendo los valores propios en la fórmula:
Para cada valor propio li, obtenemos una ecuación diferente, y de esta ecuación obtenemos también un vector propio vi diferente y asociado a su respectivo li.
Componentes principales
Las coordenadas de los vectores propios hallados son los coeficientes de la transformación que hay que realizar para pasar de las variables originales a las nuevas variables 'componentes principales'. Los valores propios nos dan el orden en el que hay que poner esos vectores propios; el valor propio mayor nos está indicando que su vector propio asociado apunta en la dirección de máxima variabilidad de los datos, es decir, en la de la primera componente principal; el segundo valor propio hace lo mismo con su vector propio, indicando que apunta en la siguiente dirección de máxima variabilidad ortogonal con la anterior, y así sucesivamente. Es por ello que la obtención de los componentes principales se realiza de la forma:
donde Z es la matriz de valores estandarizados, aunque también se podría emplear X (la de valores originales), y V es una matriz de p filas y q columnas, que recoge todos los vectores propios, ordenados según valores propios. Podemos desarrollar uno de los elementos de la matriz CP de componentes principales:
Obteniendo las variables CP1, CP2, ..., CPp. Podemos realizar simples cálculos para comprobar que:
Visualizar las componentes principales
Para el caso concreto que nos ocupa, reconocimiento facial, donde las variables eran originalmente bidimensionales pero los cálculos se han efectuado unidimensionales, puede ser interesante visualizar esas componentes principales (llamadas eigenfaces en este caso) como imágenes bidimensionales. Para ello simplemente hay que deshacer el cambio del comienzo y reordenar el vector de (n x m) valores como una matriz bidimensional de m filas por n columnas.
Coordenadas
Ya sólo resta calcular las coordenadas de las variables originales en la nueva base de variables componentes principales. Este cálculo se realiza por mero producto matricial, de la forma:
Donde también se puede usar si se prefiere la matriz X de datos originales en vez de Z. Esas coordenadas formarán la 'huella dactilar' o 'firma facial' de cada cara, y servirán para distinguir unas de otras.
VARIABLE ALEATORIA Y VARIABLE ESTADISTICA
Dado un experimento aleatorio, los posibles resultados que puedan ocurrir son sucesos que dependen del azar y que dan lugar a una variable cuyos valores tendrán una cierta probabilidad de repetirse. Estas nuevas variables se llaman variables aleatorias.
Por contra, si tomamos muestras en un experimento realizado, esos resultados reales conforman lo que se denomina variable estadística.
Los conceptos variable aleatoria y probabilidad son conceptos teóricos que resultan de una abstracción hecha sobre los conceptos de variable estadística y frecuencia, conceptos estos últimos que se consideran después de la ejecución del experimento, mientras que los primeros se consideran antes de la ejecución.
Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número finito de valores.
MEDIDAS DE CENTRALIZACION
Una medida de centralización es un valor, que es representativo de un conjunto de datos y que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos, ordenados según su magnitud.
Mediana
Es el valor de la variable estadística que divide en dos partes iguales a los individuos de una población, supuestos ordenados en orden creciente. En general, es el valor donde la función de distribución F(x) toma el valor 1/2, pero así definida puede no ser única en cuyo caso se toma la media aritmética de los valores de mediana, o no existir en cuyo caso se toma como mediana el valor de la población más cercano a esa mediana 'ideal'.
Moda
Es el valor más frecuente de la variable estadística; valor que se corresponde al máximo del histograma.
Si la variable es discreta, puede darse el caso de que haya más de una mediana.
Media aritmética
Es la suma de los productos de los posibles valores que tome la variable xi, entre el número de valores que esa variable contenga.
MEDIDAS DE DISPERSION
Son medidas que representan el grado en el que los valores numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio.
Recorrido
Es la diferencia entre el mayor y menor valor de una variable estadística.
Varianza.
Una forma natural de medir la dispersión en torno a la media es calcular la media de las diferencias:
pero como habrá valores por encima y por debajo de la media que se compensarán, calcularemos mejor el cuadrado de las diferencias. Se define así varianza de una variable estadística, como la media de los cuadrados de las desviaciones de sus valores respecto a su media. Se representa por s2:
Se distingue aquí entre los casos de variable estadística y variable aleatoria. En el primer caso, tendremos una serie de valores concretos, de los que vamos a calcular su varianza, la varianza muestral. La fórmula es la que se acaba de expresar. En el caso de variable aleatoria, estaremos calculando una varianza estimada, ya que no estamos tomando muestras de un conjunto de datos inmenso y por lo tanto la media y varianza son estimadas, no conocidas. La expresión que la define cambia en un pequeño detalle: en vez de dividir el resultado de la suma entre (n-1), se divide entre (n), así:
Desviación típica (o estándar).
Es la raíz cuadrada de la varianza.
Al igual que con la varianza, se distinguen los casos de variables aleatorias y estadísticas. En esta fórmula se expresa también la desviación típica muestral, que es la que usaremos.
Coeficiente de variación.
Es el cociente entre la desviación típica y la media. Eliminamos con esta medida la influencia de la escala escogida en las mediciones efectuadas.
EXPERIMENTOS BIVARIANTES
Hasta ahora se han considerado experimentos en los que tomábamos una sola medida o valor en cada ensayo. Pero muy corrientemente, al efectuar un experimento, se deben medir dos características. Estos experimentos se conocen por el nombre de bivariantes. Por ejemplo en un grupo de personas se miden el peso y la altura.
El objeto de un experimento bivariante es determinar si hay alguna relación entre las variables que se miden. Y si la hay, intentar calcular:
* Una medida de ese grado de relación.
* Una ecuación matemática que describa con mayor o menor exactitud esa relación.
A una de las variables (por ejemplo la X) se le denomina variable independiente, mientras que a la otra (la Y) se le denomina variable dependiente.
Se usa el término correlación cuando se habla de relaciones entre variables de experimentos bivariantes.
COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL
Es una medida del grado de asociación lineal entre las variables X e Y. Se representa por r:
donde sx, sy son las desviaciones típicas de las variables X e Y respectivamente, y Sxy es la covarianza muestral de X e Y, que se define como la media de los productos de las desviaciones correspondientes de X e Y y de sus medias muestrales.
Propiedades
* r está siempre comprendido entre -1 y 1.
* Si r = 1 ó r = -1 entonces los puntos de la muestra están situados en línea recta (correlación lineal perfecta).
* Si r está próximo a 1 ó a -1, habrá una asociación lineal fuerte entre ambas variables.
* Si r es cercano a 0, habrá una asociación lineal muy débil.
* r no varía cuando en las variables se realiza un cambio de escala o de origen. Esto demuestra que r no tiene dimensión.
Dos consideraciones sobre el coeficiente de correlación.
1. Se trata de una medida matemática que luego hay que interpretar. Aunque un alto grado de correlación indique buena aproximación a un modelo matemático lineal, su interpretación puede no tener ningún sentido. Por ejemplo puede haber un alto grado de correlación entre el número de usuarios de IDL y el consumo de alcohol en Rusia, pero ambas variables están claramente disociadas.
2.Aunque el grado de correlación sea cercano a cero (pobre aproximación al modelo lineal) eso no significa que no haya relación entre las dos variables. Puede ser que dicha relación sea no lineal.
MATRIZ DE CORRELACION
Sea un experimento de n variables (X1, X2, ... Xn). Podemos ordenar en una matriz los diferentes coeficientes de correlación de cada variable con el resto y consigo misma, obteniendo una matriz con cada elemento igual a:
El resultado es una matriz simétrica, con la diagonal principal igual a 1.
MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA
Sea un experimento de n variables (X1, X2, ... Xn). Podemos ordenar en una matriz las diferentes covarianzas entre variables y varianzas de variables.
Significado de la varianza y la covarianza
Sean dos nubes de puntos (representadas como en la figura, por elipsoides que las rodean). La varianza es una medida de la dispersión. Las variables X e Y tienen ambas la misma varianza en el caso de la elipse y del círculo, pero la covarianza en el círculo es cero y la de la elipse es más o menos alta, y positiva.
Relación entre matriz de varianza-covarianza y matriz de correlación
Si las n variables tienen medidas incompatibles (kg, m, s, ...) las varianzas no son comparables. Entonces se recurre a la matriz de correlación. Las correlación es la covarianza medida para valores estandarizados. Por eso la correlación de una variable consigo misma da uno; es la varianza de cualquier variable estandarizada.
TRANSFORMACION DE KARHUNEN-LOEVE
También llamada transformación de Hotelling ó Análisis de Componentes Principales. El origen de esta técnica suele asociarse a la publicación de un artículo de K. Pearson en 1901. Sin embargo, el nombre de componentes principales y su primer desarrollo teórico no aparecen hasta 1933, en un artículo de Hotelling. Es bastante empleada en ciencias sociales y naturales, cuando se trata de resumir un grupo amplio de variables en un nuevo conjunto, más pequeño, sin perder una parte significativa de la información original. Consiste en definir el número de dimensiones que están presentes en un conjunto de datos y buscar los coeficientes que especifican la posición de los ejes que apuntan en las direcciones de máxima variabilidad de los datos.
Su origen está en la redundancia que hay muchas veces entre distintas variables. La redundancia son datos, no información. Lo que se pretende es:
* Facilitar el estudio de las relaciones existentes entre las variables.
* Facilitar el análisis de la dispersión de las observaciones (poniendo en evidencia posibles agrupamientos, detectando las variables que son responsables de dicha dispersión).
FORMULACION DESCRIPTIVA
En un sistema multivariante, la forma de la elipse n-dimensional está definida por la matriz de varianza-covarianza calculada para las n variables. La varianza es proporcional a la dispersión de puntos en la dirección paralela al eje de esa variable. La covarianza define la forma de esa elipse (más o menos afilada). Si las variables no tienen dimensiones comparables, las varianzas tampoco se pueden comparar. Por eso se recurre a la matriz de correlación, ya que el coeficiente de correlación no es sino la covarianza medida para valores estandarizados (normalizados zi),
por eso la diagonal principal es todo unos. Por tanto utilizaremos si podemos, la matriz de varianza-covarianza, y si no, la de correlación.
En la figura vemos cómo la dispersión de las variables X e Y permite que efectuando una transformación que pase de X e Y a A y B, se consigue obtener dos variables nuevas tal que casi toda la varianza (la información) se sitúa en la variable A y muy poca en la B. Además, la correlación de X e Y era alta, mientras que la de A y B es matemáticamente cero.
A partir de esas matrices, se calculan sus valores y vectores propios. Los valores propios dan la longitud de los ejes principales de la elipsoide n-dimensional. Los vectores propios apuntan precisamente en las direcciones de esos ejes principales. Además, equivalen a los coeficientes de regresión en una transformación lineal estándar, siendo las variables a transformar las variables independientes y las componentes principales, las dependientes.
Las nuevas variables así obtenidas, pierden el sentido físico que pudieran tener las variables originales.
FORMULACION MATEMATICA
Notación y ordenamiento de los datos
Sea una serie de datos, en este caso bidimensionales (una imagen) de la forma:
Podemos ordenar esa matriz en forma de un vector, bien poniendo una fila tras otra, o bien por columnas. Lo importante no es tomar uno u otro tipo de ordenación sino que éste sea consistente con todas las imágenes que vayan a participar en la transformación.
En definitiva se trata de obtener:
Donde podemos expresar ese vector en función de un sólo subíndice:
Como tendremos varias imágenes, para diferenciar unas de otras en la notación, introducimos como subíndice los números '1', '2', '3', etc. para las distintas imágenes. Nótese que ahora el elemento x11 no representa el valor del píxel de la fila 1, columna 1, sino que de la imagen 1 es el píxel 1 (ahora es un vector, no una matriz de dos dimensiones). Así:
El primer paso consiste en hallar la matriz de correlación de estas variables.
Cálculo de la matriz de correlación
Se puede efectuar de dos formas:
1. Con los datos originales
Con lo cual se aplica la fórmula de cálculo del coeficiente de correlación lineal entre dos variables (coeficiente de correlación de Pearson):
Coeficiente de correlación entre las variables Xa y Xb se denota rab y se define como:
donde Sxa, Sxb son las desviaciones típicas de las variables Xa y Xb respectivamente y Sxaxb es la covarianza muestral. Nos limitaremos a poner la fórmula completa para r, que quedaría de la forma:
Coeficiente, que como ya se explica en el apartado correspondiente al tema, está comprendido siempre en el rango [-1, 1] con los consiguientes significados matemáticos.
La matriz de correlación se forma entonces ordenando los distintos coeficientes de correlación en una matriz de filas y columnas de la forma:
A priori ya podemos conocer dos cosas de M: que esta será simétrica, ya que rab = rba y que la diagonal principal será todo unos, esto porque raa = 1.
2. Con los datos normalizados
La otra posibilidad para calcular la matriz de correlación evitándonos esa fórmula relativamente complicada, es hallando la matriz de varianza-covarianza para los datos normalizados.
* Normalización de los datos
Se calculan primeramente las estadísticas básicas de cada variable Xa, su media y desviación estándar:
Con esos datos, ya podemos estandarizar las distintas variables (recordemos que al estandarizar estamos transformando ese conjunto de datos en otro, con media cero y desviación estándar uno. Pasamos de la variable Xa a la Za, y así con todas, pasando cada valor de esta forma:
A partir de las variables estandarizadas Z1, Z2, Z3, ..., Zp, se calculan sus varianzas (evidentemente dan uno) y las covarianzas entre variables:
Ordenando esos valores en forma de matriz, con filas y columnas representando variables, en virtud de la relación entre la matriz de varianza-covarianza y la matriz de correlación tendremos ya calculada la matriz de correlación:
1. Una tercera forma de calcular la matriz de correlación a partir de las variables estandarizadas es ordenar primeramente dichas variables estandarizadas en forma de matriz (por ejemplo por filas):
Y efectuar la siguiente operación matricial:
Donde Zt significa matriz traspuesta. Este resultado también se corresponderá con la matriz de correlación que queremos calcular.
Valores y vectores propios
El siguiente paso es calcular los valores y vectores propios de la matriz de correlación calculada. Los valores propios son las raíces del polinomio:
I representa la matriz identidad, de las mismas dimensiones que la matriz M. Esta expresión da como resultado un polinomio cuyas raíces serán los valores propios de M, que se denotan como ll, l2, ..., li.
Los vectores propios asociados a esos valores propios, se calcularán sustituyendo los valores propios en la fórmula:
Para cada valor propio li, obtenemos una ecuación diferente, y de esta ecuación obtenemos también un vector propio vi diferente y asociado a su respectivo li.
Componentes principales
Las coordenadas de los vectores propios hallados son los coeficientes de la transformación que hay que realizar para pasar de las variables originales a las nuevas variables 'componentes principales'. Los valores propios nos dan el orden en el que hay que poner esos vectores propios; el valor propio mayor nos está indicando que su vector propio asociado apunta en la dirección de máxima variabilidad de los datos, es decir, en la de la primera componente principal; el segundo valor propio hace lo mismo con su vector propio, indicando que apunta en la siguiente dirección de máxima variabilidad ortogonal con la anterior, y así sucesivamente. Es por ello que la obtención de los componentes principales se realiza de la forma:
donde Z es la matriz de valores estandarizados, aunque también se podría emplear X (la de valores originales), y V es una matriz de p filas y q columnas, que recoge todos los vectores propios, ordenados según valores propios. Podemos desarrollar uno de los elementos de la matriz CP de componentes principales:
Obteniendo las variables CP1, CP2, ..., CPp. Podemos realizar simples cálculos para comprobar que:
Visualizar las componentes principales
Para el caso concreto que nos ocupa, reconocimiento facial, donde las variables eran originalmente bidimensionales pero los cálculos se han efectuado unidimensionales, puede ser interesante visualizar esas componentes principales (llamadas eigenfaces en este caso) como imágenes bidimensionales. Para ello simplemente hay que deshacer el cambio del comienzo y reordenar el vector de (n x m) valores como una matriz bidimensional de m filas por n columnas.
Coordenadas
Ya sólo resta calcular las coordenadas de las variables originales en la nueva base de variables componentes principales. Este cálculo se realiza por mero producto matricial, de la forma:
Donde también se puede usar si se prefiere la matriz X de datos originales en vez de Z. Esas coordenadas formarán la 'huella dactilar' o 'firma facial' de cada cara, y servirán para distinguir unas de otras.
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