La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius" es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
Construcción de una cinta de Möbius
Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.
Se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un cilindro ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180° uno de los extremos y se vuelve a pegar.
La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:
Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase en la imagen).
Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.
Esta superficie no es orientable:
Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
Otras propiedades:
Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino una banda más larga pero con dos vueltas. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.
TOPOLOGÍA
Sus particularidades topológicas y matemáticas son muy interesantes. Evidentemente se trata de una superficie bidimensional pero, a pesar de su apariencia, tiene una sola cara. Para comprobarlo basta con pasar un dedo o dibujar con un lápiz una línea superficial sobre la banda: se recorren las dos caras primitivas de la cinta inicial y se llega hasta el comienzo, tras pasar por el punto inicial dos veces más, una por el lado opuesto de la cinta y, la segunda, por el mismo lado del inicio cuando se completa el recorrido. Otra propiedad curiosa de la banda de Moebius es que si se corta la banda a lo largo de una línea que siguiese línea dibujada en el centro del lazo, en vez de quedar este dividido en dos lazos, se convierte en un lazo único con dos caras.
La Topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras geométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la vuelta, estira o deforma de alguna manera. La topología es un campo muy activo de las matemáticas modernas. De algunos de sus temas nos hemos ocupado en el pasado en estas páginas. Por ejemplo, la determinación del número mínimo de colores distintos necesarios para colorear un mapa de manera que no haya dos regiones contiguas con el mismo color. Kenneth Appel y Wolfgang Haken usando un potente ordenador demostraron que era suficiente con cuatro colores, sin depender del tamaño o del número de regiones. También hemos comentado otra rama de la topología que tiene todavía muchos problemas por resolver, la teoría de nudos.
La banda de Moebius no es solo una curiosidad topológica. En 1923 ya se obtuvo una patente norteamericana para una película de esta forma, en la que podrían registrarse ambas caras. La idea se ha aplicado a cintas magnetofonías, con lo que la cinta puede funcionar el doble de tiempo que lo que estaría otra normal.
Otras patentes cubren aplicaciones diversas: cintas transportadoras que sufren igual desgaste por ambos lados, bandas abrasivas, o un filtro auto limpiante destinado a maquinas de limpieza en seco, que por tener la forma de banda de Mobius facilita el lavado por ambas caras tras sociedad depositada en el filtro al ir este dando vueltas.
MOEBIUS
La banda de Möbius recibió su nombre por el matemático alemán August Ferdinand Möbius, que fue un pionero de la topología a principios del siglo XIX. August Ferdinand Moebius (o Möbius, 1790-1868) fue un matemático y astrónomo alemán, profesor de la Universidad de Leipzig y director de su observatorio astronómico. Sus aportaciones científicas fueron muy importantes en su época siendo muy apreciados sus libros Cálculo del baricentro, Principios de Astronomía, y Manual de Estática. En Astronomía describió el cálculo de la ocultación de las estrellas por los planetas. En Geometría analítica fue el introductor de las coordenadas homogéneas e investigó las transformaciones proyectivas. Pero su nombre quedó ligado históricamente a sus estudios topológicos. Así, antes de que Francis Guthrie hubiera presentado el problema de los cuatro colores para colorear mapas, en 1840 Moebius había planteado lo siguiente: “Hubo una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento estipuló que a su muerte, el reino habría de dividirse por sus hijos en cinco regiones, de tal forma que cada región tuviese una frontera común con cada una de las otras cuatro. ¿Es posible cumplir con los términos del testamento?”. La respuesta es negativa y fácil de demostrar, pero ilustra el interés de Moebius en las ideas topológicas, un área en la cual se le recuerda mucho como pionero.
Moebius realizó el descubrimiento de la cinta en 1858 y aunque el nombre de banda de Moebius está universalizado, otro matemático, Listing lo precedió unos meses (julio de 1858). Se trataba de J. N Listing, quien estaba trabajando sobre la fórmula de Euler cuando descubrió la idea. Su trabajo incluyó resultados sobre giros, semigiros, cortes, divisiones y longitudes y su trabajo lo publicó en 1861 mientras que el de Moebius no fue publicado hasta 1869, un año después de su muerte
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