CAPÍTULO I.
1. SISTEMAS NUMERICOS.
1.1 OBJETIVO.
En este capítulo damos nociones elementales sobre el conocimiento de los números, sistemas numéricos más utilizados, símbolos, reglas, overflow, realización de operaciones aritméticas básicas y conversiones en los diferentes sistemas numéricos previamente estudiados.
1.2 NUMERACIÓN.
Sistema. En esta área del conocimiento significa los símbolos o signos utilizados para darles una expresión a los números.
NUMEROS ROMANOS.
Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil.
En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez.
NUMERACIÓN ARÁBICA.
El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito.
SISTEMAS NUMÉRICOS.
En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.
Valores posicionales
La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.
Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.
Sistema binario
El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de las computadoras. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos.
Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en las computadoras.
Números:
Palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades, que se comporten como cantidades. Es la expresión de la relación existente entre una cantidad y otra magnitud que sirve de unidad. Se pueden considerar números todos aquellos conceptos matemáticos para los cuales se definen dos operaciones, de adición y multiplicación, cada una de las cuales obedece a las propiedades conmutativa y asociativa.
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Naturales
Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar.
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:
• Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1.
• Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural.
• Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.
• Las propiedades enunciadas anteriormente constituyen el Axioma de Inducción Completa.
Números Enteros
El conjunto de números enteros, es también infinito.
Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero.
Por ejemplo: la pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4. La pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.
Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos.
Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc.
Números Racionales
El conjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí.
A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador.
Los racionales serán positivos o negativos según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen.
Así será que parejas de enteros de igual signo definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo.
No existen racionales cuyo denominador sea 0.
Números Reales
El campo de los números reales es más amplio que el de los racionales; ya que incluye números que no están formados por parejas de enteros. Por ejemplo la relación que existe entre una circunferencia y su diámetro no es un racional.(número
Se trata de un conjunto también infinito.
Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real.
1.3 PROCESO DE CUENTA.
En lugar del sistema numérico decimal, se puede utilizar la numeración binaria, introducida en la ciencia de la matemática por Leibnitz en el siglo XVII, que solo utiliza dos tipos de símbolos, el 0 y el 1. también es practico en computación, donde se utilizan corrientemente números de base 8 y 16 elementos binarios, denominados sistema octal y hexadecimal.
Por facilidad al usuario de este material se empezará con la creación de la siguiente tabla, en la cual se inicia con el sistema decimal.
DECIMAL BINARIO OCTAL HEXADECIMAL
00 0 0 0
01 1 1 1
02 10 2 2
03 11 3 3
04 100 4 4
05 101 5 5
06 110 6 6
07 111 7 7
08 1000 10 8
09 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
21 10101 25 15
22 10110 26 16
23 10111 27 17
24 11000 30 18
25 11001 31 19
26 11010 32 1A
27 11011 33 1B
28 11100 34 1C
29 11101 35 1D
30 11110 36 1E
31 11111 37 1F
32 100000 40 20
N… N… N… N…
Tabla 1.A: Cuatro sistemas de numeración en computación.
1.3 ANÁLISIS DE UN NÚMERO DECIMAL DIGITO POR DIGITO
Número decimal = 6485.5810
Parte entera = 6485
Parte fraccionaria = .58
Análisis del número decimal:
1. Parte entera 2. Parte fraccionaria
5 X 100 = 5 5 X 10-1 = .5
8 X 101 = + 80 8 X 10-2 = .08
4 X 102 = 400 .58
6 X 103 = 6000
6485
Por lo tanto el número 6485.5810 es igual a 6485.5810
1.4 CONVERSION DEL SISTEMA BINARIO A DECIMAL
a) Convertir 101112 a N10
1 X 20 = 1
1 X 21 = 2
1 X 22 = + 4
0 X 23 = 0
1 X 24 = 16
23
Significa que el número 101112 es igual a 2310 en decimal
b) Convertir 110101.01102 a N10
1.- Parte entera 2.- Parte fraccionaria
1 X 20 = 1 0 X 2-1 = .0
0 X 21 = 0 1 X 2-2 = + .25
1 X 22 = + 4 1 X 2-3 = .125
0 X 23 = 0 0 X 2-4 = .0
1 X 24 = 16 .375
1 X 25 = 32
53
Por lo tanto el número 110101.01102 es igual a 53.37510
1.5.- CONVERSION DEL SISTEMA DECIMAL AL BINARIO
Se lo puede efectuar a través del método de divisiones sucesivas, como se muestra en los ejemplos que adjunto.
a) Convertir el número 8710 a N2
87 2
1 43 2
21 2
10 2
5 2
2 2
1 2
Por lo tanto el número 8710, convertido a binario es 10101112.
b) Convertir el número decimal 36.4410 a N2
1. Parte entera: 3610 2.- Parte fraccionaria: .4410
36 2 .44 X 2 = 0.88
18 2 .88 X 2 = 1.76
9 2 .76 X 2 = 1.52
4 2 .52 X 2 = 1.04
2 2
1 2
0
Por lo tanto el número 36.4410, convertir a binario es igual a 100100.01112
1.6.- OPERACIONES NUMERICAS BÄSICAS EN EL SISTEMA BINARIO
1.6.1.- Efectuar las siguientes sumas binarias:
a.- 1111012 b.- 101112
+ +
1110102 101102
11101112 1011012
c.- 1111102 d.- 1011.112
1011012 1111.112
1101112 1111.012
+ 1110112 + 1111.102
1111112 1111.112
1011112 1111.012
1001112 1111.112
1011100102 1101001.002
1.6.2 Efectuar las siguientes restas binarias
a.- 10002 b.- 10010112
- -
01102 1111012
00102 00011102
c.- 11011.012
- 1010.102
10001.102
1.6.3 MULTIPLICACION BINARIA
1.6.3.1 Multiplicación por sumas sucesivas
El método consiste en sumar el multiplicando a si mismo un número de veces igual al multiplicador. Así para 10001 X 11 en binario (o sea, 17 X 3 = 51)
Por Ejemplo.
a.- 10001 X 11 b.- 11011 X 10
100012 110112
+ 100012 + 110112
100012 1101102
1100112
c.- 1101 X 111
11012
11012
11012
+ 11012
11012
11012
11012
10110112
1.6.3.2 Multiplicación mediante desplazamiento y suma
Consiste en ejecutar la multiplicación binaria de la misma decimal, se pone:
a.- 100012 b.- 110112
x 112 x 102
10001 00000
10001 11011
1100112 1101102
c.- 11012
x 1112
11012
1101
1101
10110112
1.6.4 DIVISION BINARIA
La división binaria se ejecuta como la división decimal Por Ejemplo:
a.- 10010102 / 1012
10010102 1012
- 000 011102
1001
-101
1000
-101
0111
-101
0100
-000
100
Por lo tanto 10010102 dividido para 1012 da 011102 con un resto de 1002
b.- 1001101012/ 1012
1001101012 1012
-101 1111012
1001
-101
1000
-101
0111
-101
0100
-000
1001
-101
100
Por lo tanto 1001101012 dividido para 1012 da 1111012 con una resto de 1002
1.7 SISTEMA OCTAL.
1.7.1 Efectuar las siguientes sumas octales:
a.- 4274378 b.- 345.6728
243578 + 67.2578
+ 654328 435.1518
5414508
1.7.2 Efectuar las siguientes restas:
a.- 467568 b.- 76543221.368
- 247548 - 436651.028
220028 76104350.348
c.- 10101257.4638
- 66567.5428
10012467.7218
1.7.3 Efectuar las siguientes multiplicaciones:
a.- 545238 b.- 2710654.218
x 228 x 546.238
131246 1053240463
131246 562153042
14437268 2126501146
1344326104
1635413525
201422304617038
1.7.4 efectuar las siguientes divisiones:
a.- 1432568 / 178
1432568 178
-132 64768
112
-74
165
-151
146
-132
14
1.8 SISTEMA HEXADECIMAL
1.8.1.- Efectuar las siguientes sumas en hexadecimal.
a.- 4A365B16 b.- A2B9CF16
+ 24BFD16 +4B3A9 16
4 C815816 A76D78 16
1.8.2 Efectuar las siguientes restas:
a.- A2B9CF16 b.- DAC.6FD916
-4B3A916 6.29EA16
9E062616 DA6.45EF16
1.8.3. Efectuar las siguientes multiplicaciones
a.- 2D5F16 b.- 2 2 5 F16
x A5B16 x 9 5 B16
1F315 1 7 A1 5
E2DB AB DB
1C5B6 135 5 7
1D5D6C516 14 1B EC516
1.8.4 Efectuar la siguiente división
a.- BA23CF9816 / 2A916
BA23CF9816 2A916
-AA4 45F92916
FE3
-D4D
296C
-27E7
185F
-17F1
6E9
-552
1978
-17F1
187
1.9. CONVERTIR ENTRE LOS SISTEMAS DECIMAL Y HEXADECIMAL
1.9.1 Convertir de decimal a hexadecimal:
a.- 243510 a N16 Por lo tanto 243510 = 98316
2435 16
152 16
9 16
0
b.- 8799.23610 a N16
Parte entera Parte fraccionaria
8799 16 .236 X 16 = 3.776
549 16 .776 X 16 = C.416
34 16 .416 X 16 = 6.656
2 16 .656 X 16 = A.496
0 .496 X 16 = 7.936
Por lo tanto 8799.23610 = 225F.3C6A716
1.9.2 Convertir de hexadecimal a decimal
a.- A2B9CF16 a N10
F = 15 X 160 = 15
C = 12 X 161 = 192
9 = 9 X 162 = + 2304
B = 11 X 163 = 45056
2 = 2 X 164 = 131072
A = 10 X 165 = 10485760
10664399
Por lo tanto A2B9CF16 = 1066439910
b.- A2C.F316 a N10
Parte entera Parte fraccionaria
C = 12 X 100 = 12 F = 15 X 16-1 = .9375
2 = 2 X 161 = +32 3 = 3 X 16-2 = .011718
A = 10 X 162 = 2560 .949218
2604
Por lo tanto A2C.F316 = 2604.94921810
1.10 CONVERSION RAPIDA ENTRE SISTEMAS BINARIOS, OCTAL Y HEXADECIMAL
Para convertir un número del sistema binario al sistema octal, se separa el número en grupos de 3 bits y se pone para cada grupo su equivalencia en octal. Para convertir un número del sistema binario al hexadecimal, se separa el número en grupos de 4 bits, y se pone para cada grupo su equivalencia en hexadecimal.
Para pasar de octal hexadecimal al binario, el proceso es el inverso del que quedo descrito anteriormente.
1.10.1 Conversión de octal a binario:
a.- 4567268 a N2
4 5 6 7 2 6
110
010
111
110
101
100
Por lo tanto 4567268 = 1001011101110101102
b.- 6743.28 a N2
6 7 4 3 . 2
.010
011
100
111
110
Por lo tanto 6743.28 = 110111100011.0102
1.10.2 Conversión de hexadecimal a binario
a.- 67ABC916 a N2
6 7 A B C 9
1001
1100
1011
1010
0111
0110
Por lo tanto 67ABC916 = 0110011110101011110010012
b.- 334BD.A316 a N2
3 3 4 B D . A 2
0011
. 1010
1101
1011
0100
0011
0011
Por lo tanto 334BD.A316 = 00110011010010111101.101000112
1.10.3 Conversión de binario a octal:
a.- 11011111102 a N8
0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0
1 5 7 6
Por lo tanto 11011111102 = 15768
b.- 1101110.102 a N8
0 0 1 1 0 1 1 1 0 . 1 0 0
1 5 6 4
Por lo tanto 1101110.102 = 156.48
1.10.4 Conversión de binario a hexadecimal
a.- 1101111111001102 a N16
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0
6 F E 6
Por lo tanto 1101111111001102 = 6FE616
b.- 1010101011.102 a N16
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 . 1 0 0 0
2 A B 8
Por lo tanto 1010101011.102 = 2AB.816
1.11 CONVERSION ENTRE TODOS LOS SISTEMAS NUMERICOS
Para convertir un número de cualquier base a una base que ud. desee llegar, lleve a cabo los siguientes pasos:
1. Número X
2. El número X conviértalo a base 10
3. De base 10, convierta a la base deseada Y
Para mayor información fíjese en el grafico Nº 1 y en el ejemplo que se adjunta
5 2 3
7 4
N
16 6 GRAFICO 1.
13
P.E.
Convertir el número 43.67 a N3
1.- Parte entera Parte fraccionaria
3 X 70 = 3 6 x 7-1 = .8571426
4 X 71 = 28
31
2.- 43.67 = 31. 857142610
3.- Parte entera Parte fraccionaria
31 3 .8571426 X 3 = 2.5714278
10 3 .5714278 X 3 = 1.7142834
3 3 .7142834 X 3 = 2.1428502
1 3
0
Entonces el número 31.857142610 = 1011.2123
Por lo tanto 43.67 = 31.857142610 = 1011.2123 (NUMERO BUSCADO)
1.12 NUMEROS BINARIOS NEGATIVOS
1.12.1 Codificación en valor absoluto y signo
El número binario negativo puede ser codificado de varias formas lo fundamental es prever un bit de signo: generalmente es un 0 para el +, y un 1 para el menos.
Así, el número 1310, que se escribe 1101 en binario da + 1310 = 011012 y -1310 = 111012
Existen otros procedimientos de codificación. Para recordarlos es conveniente atenerse a dos definiciones:
1.12.2 El complemento A2
Se obtiene el complemento A2 (0 complemento verdadero) de un número binario añadiendo 1 al complemento restringido, así
El complemento a 2 de 1011 es 0100 + 1 = 0101;
El complemento a 2 de 0100 es 1011 + 1 = 1100.
1.12.3 El complemento A 1
Se forma el complemento a 1 (0 complemento restringido) de un número binario, cambiando todos los ceros por unos, y todos los unos en ceros, Por Ejemplo.:
El complemento A 1 de 1011 es 0100;
El complemento A 1 de 0100 es 1011.
1.12.4 Otras formas de codificación de números negativos
Los complementos A1 y A2 proporcionan, pues, otros medios de codificar los números binarios negativos, como se muestran en la tabla 1ª
DECIMAL VALOR ABSOLUTO Y SIGNO COMPLEMENTO RESTRINGIDO (A1) COMPLEMENTO VERDADERO (A2)
+1
+0
-0
-1
-2
:
:
-7
-8
-9 0 0001
0 0000
1 0000
1 0001
1 0010
:
:
1 0111
1 1000
1 1001
0 0000
1 1111
1 1110
1 1101
:
:
1 1000
1 0111
1 0110
0 0000
1 0000
1 1111
1 1110
:
:
1 1001
1 1000
1 0111
TABLA 1 A LOS COMPLEMENTOS A1 Y A2 DE LOS NUMEROS NEGATIVOS
1.12.5 Operaciones
1.12.5.1 Codificación en valor absoluto y signo
Recuerde que consiste en dedicar el bit más significativo de la izquierda como signo.
Si = 1 es negativo
Si = 0 es positivo
Por Ejemplo.
7 = 0 111
Signo (positivo)
-7 = 1 111
Signo (negativo)
5 = 0 101
Signo (positivo)
-2 = 1 010
Signo (negativo)
1.12.5.2 Complemento A2
a.- Representar -5 en complemento A2 y con cuatro bits
5 = 0 1 0 1
Complemento = 1 0 1 0
Agregar 1 = + 1
-5 = 1 0 1 1
Por lo tanto el número negativo -510 = 10112
b.- Representar -8 en complemento A2 y con cinco bits
8 = 0 1 0 0 0
Complemento = 1 0 1 1 1
Agregar 1 = + 1
-8 = 1 1 0 0 0
Por lo tanto el número negativo -810 = 110002
c.- Ejecutar en complemento A2 con cuatro bits -7 + 5
-7 = 1 0 0 1 7 = 0 1 1 1
5 = 0 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 + 1
-7 = 1 0 0 1
Por lo tanto el resultado de -7 +5 = 1110.
Significa que el resultado para la computadora es 1110
Es prudente informar que los números positivos son también los complementos A2 de los números negativos.
Por Ejemplo.:
El complemento del numero anterior A2.
1 1 1 0
0 0 0 1
+ 1
0 0 1 0 = resultado positivo
d.- ejecutar 5 -1 a complemento A2 con cuatro bits.
5 = 0101 1 = 0001
+1111 1110
0100 +1
Se ignora -1 = 1111
Por lo tanto el resultado de 5 – 110 = 01002
e.- Ejecutar 4 – (-2) a complemento A2 con 4 bits.
4 = 0 1 0 0 2 = 0 0 1 0
2 = + 0 0 1 0 1 1 0 1
6 = 0 1 1 0 + 1
-2 = 1 1 1 0
0 0 0 1
+ 1
- (-2) = 0 0 1 0
Por lo tanto el resultado de 4 – (-2)10 = 0 1 1 0
f.- Ejecutar 7 -3 a complemento A2 con 4 bits.
7 = 0 1 1 1 3 = 0 0 1 1
-3 = 1 1 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 + 1
Se ignora -3 = 1 1 0 1
1.12.5.3 Complemento A1
El complemento A 1 se obtiene complementando cada uno de sus bits.
P. E.:
Representar -5 con 4 bits
5 = 0 1 0 1
-5 = 1 0 1 0
La suma se realiza igual que en el complemento A2, pero cuando ocurre acarreo se suma uno al resultado final
a.- Ejecute -7+5 a complemento A1 con 4 bits
-7 = 1 0 0 0 7 = 0 1 1 1
5 = + 0 1 0 1 -7 = 1 0 0 0
1 1 0 1 = (resultado para la computadora)
b.- Ejecutar -1+6 a complemento A1
-1 = 1 1 1 0 1 = 0 0 0 1
6 = + 0 1 1 0 -1 = 1 1 1 0
0 1 0 0
Acarreo
0 1 0 0
+ 1
0 1 0 1 = 5 (cantidad positiva)
c.- Ejecutar 5 – 2 a complemento A 1 con cuatro bits
5 = 0 1 0 1 2 = 0 0 1 0
-2 = + 1 1 0 1 -2 = 1 1 0 1
0 0 1 0
Acarreo
0 0 1 0
+ 1
0 0 1 1 = 3 (cantidad positiva)
Por lo tanto el resultado de 5 -2 10 = 0 0 1 12
1.12.6 Método para detectar sobre capacidad (overflow) en números complementados A2.
1. Antes de sumar las dos cantidades se repite el bit más significativo (mas a la izquierda).
2. Ejecutar la suma usando N + bits, ignorar el acarreo en el bit N+ 2
3. Examinar los dos últimos bits, el resultado del bit N+1; hay overflow o sobre capacidad si los dos bit más a la izquierda no son idénticos.
a.- Ejecutar -7+5 a complemento A2
-7 = 1n+1 1n 0 0 1 7 = 0 1 1 1
5 = 0n+1 0n 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 +1
= -7 = 1 0 0 1
Son idénticos por lo tanto
No hay overflow.
b.- Ejecutar 6+4 a complemento A2
6 = 0n+1 0n 1 1 0
-5 = 0n+1 0n 1 0 1
0 1 0 1 0
= No son idénticos por lo tanto
Existe overflow.
1.12.7. Overflow en complemento A1
El procedimiento es idéntico al complemento A 2, solo que cuatro aparezca el bit N +1 este se debe adicionar al resultado.
P.E.:
a.- Ejecutar 5+2 al complemento A1 con cuatro bits.
5 = 0n+1 0n 1 0 1
-5 = 0n+1 0n 0 1 0
0 0 1 1 1
=
El resultado es idéntico
No hay overflow.
b.- Ejecutar -4-4 al complemento A 1
-4 = 1n+1 1n 0 1 1 4 = 0 1 0 0
4 = 1n+1 1n 0 1 1 -4 = 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0
+ 1
1 0 1 1 1
=
El resultado no es idéntico
Por lo tanto existe overflow.
1.13 Efectuar los siguientes problemas:
a.- Convertir del sistema binario al decimal:
1110101112 a N10
1101001.11012 a N10
10011111.11012 a N10
b.- Convertir del sistema decimal al binario
8610 a N2
69.4610 a N2
99.9610 a N2
c.- Efectuar las siguientes operaciones binarias
11110112 111110.112
+ 11111002 001011.012
10110112 + 110111.112
10110112 110111.112
101110.112
011111.102
11010102 101101.1012
-01101112 - 011101.1112
1101111 x 101 11101111 x 11112
1011112/112 111110112/1012
d.- Efectuar las siguientes operaciones octales:
2456328 10647.678
+ 5434648 + 01432.568
6532458 12346.778
6674328 3456.7678
- 2432148 - 367.6768
456768 x 2438 4567765438 x 2458
46576628 / 428
e.- Efectuar las siguientes operaciones hexadecimales:
1AB69F16 6FACA916
+ 24 678A16 - 467 ABB16
56 78BB16
1. SISTEMAS NUMERICOS.
1.1 OBJETIVO.
En este capítulo damos nociones elementales sobre el conocimiento de los números, sistemas numéricos más utilizados, símbolos, reglas, overflow, realización de operaciones aritméticas básicas y conversiones en los diferentes sistemas numéricos previamente estudiados.
1.2 NUMERACIÓN.
Sistema. En esta área del conocimiento significa los símbolos o signos utilizados para darles una expresión a los números.
NUMEROS ROMANOS.
Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil.
En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez.
NUMERACIÓN ARÁBICA.
El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito.
SISTEMAS NUMÉRICOS.
En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.
Valores posicionales
La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.
Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.
Sistema binario
El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de las computadoras. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos.
Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en las computadoras.
Números:
Palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades, que se comporten como cantidades. Es la expresión de la relación existente entre una cantidad y otra magnitud que sirve de unidad. Se pueden considerar números todos aquellos conceptos matemáticos para los cuales se definen dos operaciones, de adición y multiplicación, cada una de las cuales obedece a las propiedades conmutativa y asociativa.
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Naturales
Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar.
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:
• Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1.
• Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural.
• Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.
• Las propiedades enunciadas anteriormente constituyen el Axioma de Inducción Completa.
Números Enteros
El conjunto de números enteros, es también infinito.
Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero.
Por ejemplo: la pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4. La pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.
Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos.
Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc.
Números Racionales
El conjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí.
A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador.
Los racionales serán positivos o negativos según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen.
Así será que parejas de enteros de igual signo definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo.
No existen racionales cuyo denominador sea 0.
Números Reales
El campo de los números reales es más amplio que el de los racionales; ya que incluye números que no están formados por parejas de enteros. Por ejemplo la relación que existe entre una circunferencia y su diámetro no es un racional.(número
Se trata de un conjunto también infinito.
Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real.
1.3 PROCESO DE CUENTA.
En lugar del sistema numérico decimal, se puede utilizar la numeración binaria, introducida en la ciencia de la matemática por Leibnitz en el siglo XVII, que solo utiliza dos tipos de símbolos, el 0 y el 1. también es practico en computación, donde se utilizan corrientemente números de base 8 y 16 elementos binarios, denominados sistema octal y hexadecimal.
Por facilidad al usuario de este material se empezará con la creación de la siguiente tabla, en la cual se inicia con el sistema decimal.
DECIMAL BINARIO OCTAL HEXADECIMAL
00 0 0 0
01 1 1 1
02 10 2 2
03 11 3 3
04 100 4 4
05 101 5 5
06 110 6 6
07 111 7 7
08 1000 10 8
09 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
21 10101 25 15
22 10110 26 16
23 10111 27 17
24 11000 30 18
25 11001 31 19
26 11010 32 1A
27 11011 33 1B
28 11100 34 1C
29 11101 35 1D
30 11110 36 1E
31 11111 37 1F
32 100000 40 20
N… N… N… N…
Tabla 1.A: Cuatro sistemas de numeración en computación.
1.3 ANÁLISIS DE UN NÚMERO DECIMAL DIGITO POR DIGITO
Número decimal = 6485.5810
Parte entera = 6485
Parte fraccionaria = .58
Análisis del número decimal:
1. Parte entera 2. Parte fraccionaria
5 X 100 = 5 5 X 10-1 = .5
8 X 101 = + 80 8 X 10-2 = .08
4 X 102 = 400 .58
6 X 103 = 6000
6485
Por lo tanto el número 6485.5810 es igual a 6485.5810
1.4 CONVERSION DEL SISTEMA BINARIO A DECIMAL
a) Convertir 101112 a N10
1 X 20 = 1
1 X 21 = 2
1 X 22 = + 4
0 X 23 = 0
1 X 24 = 16
23
Significa que el número 101112 es igual a 2310 en decimal
b) Convertir 110101.01102 a N10
1.- Parte entera 2.- Parte fraccionaria
1 X 20 = 1 0 X 2-1 = .0
0 X 21 = 0 1 X 2-2 = + .25
1 X 22 = + 4 1 X 2-3 = .125
0 X 23 = 0 0 X 2-4 = .0
1 X 24 = 16 .375
1 X 25 = 32
53
Por lo tanto el número 110101.01102 es igual a 53.37510
1.5.- CONVERSION DEL SISTEMA DECIMAL AL BINARIO
Se lo puede efectuar a través del método de divisiones sucesivas, como se muestra en los ejemplos que adjunto.
a) Convertir el número 8710 a N2
87 2
1 43 2
21 2
10 2
5 2
2 2
1 2
Por lo tanto el número 8710, convertido a binario es 10101112.
b) Convertir el número decimal 36.4410 a N2
1. Parte entera: 3610 2.- Parte fraccionaria: .4410
36 2 .44 X 2 = 0.88
18 2 .88 X 2 = 1.76
9 2 .76 X 2 = 1.52
4 2 .52 X 2 = 1.04
2 2
1 2
0
Por lo tanto el número 36.4410, convertir a binario es igual a 100100.01112
1.6.- OPERACIONES NUMERICAS BÄSICAS EN EL SISTEMA BINARIO
1.6.1.- Efectuar las siguientes sumas binarias:
a.- 1111012 b.- 101112
+ +
1110102 101102
11101112 1011012
c.- 1111102 d.- 1011.112
1011012 1111.112
1101112 1111.012
+ 1110112 + 1111.102
1111112 1111.112
1011112 1111.012
1001112 1111.112
1011100102 1101001.002
1.6.2 Efectuar las siguientes restas binarias
a.- 10002 b.- 10010112
- -
01102 1111012
00102 00011102
c.- 11011.012
- 1010.102
10001.102
1.6.3 MULTIPLICACION BINARIA
1.6.3.1 Multiplicación por sumas sucesivas
El método consiste en sumar el multiplicando a si mismo un número de veces igual al multiplicador. Así para 10001 X 11 en binario (o sea, 17 X 3 = 51)
Por Ejemplo.
a.- 10001 X 11 b.- 11011 X 10
100012 110112
+ 100012 + 110112
100012 1101102
1100112
c.- 1101 X 111
11012
11012
11012
+ 11012
11012
11012
11012
10110112
1.6.3.2 Multiplicación mediante desplazamiento y suma
Consiste en ejecutar la multiplicación binaria de la misma decimal, se pone:
a.- 100012 b.- 110112
x 112 x 102
10001 00000
10001 11011
1100112 1101102
c.- 11012
x 1112
11012
1101
1101
10110112
1.6.4 DIVISION BINARIA
La división binaria se ejecuta como la división decimal Por Ejemplo:
a.- 10010102 / 1012
10010102 1012
- 000 011102
1001
-101
1000
-101
0111
-101
0100
-000
100
Por lo tanto 10010102 dividido para 1012 da 011102 con un resto de 1002
b.- 1001101012/ 1012
1001101012 1012
-101 1111012
1001
-101
1000
-101
0111
-101
0100
-000
1001
-101
100
Por lo tanto 1001101012 dividido para 1012 da 1111012 con una resto de 1002
1.7 SISTEMA OCTAL.
1.7.1 Efectuar las siguientes sumas octales:
a.- 4274378 b.- 345.6728
243578 + 67.2578
+ 654328 435.1518
5414508
1.7.2 Efectuar las siguientes restas:
a.- 467568 b.- 76543221.368
- 247548 - 436651.028
220028 76104350.348
c.- 10101257.4638
- 66567.5428
10012467.7218
1.7.3 Efectuar las siguientes multiplicaciones:
a.- 545238 b.- 2710654.218
x 228 x 546.238
131246 1053240463
131246 562153042
14437268 2126501146
1344326104
1635413525
201422304617038
1.7.4 efectuar las siguientes divisiones:
a.- 1432568 / 178
1432568 178
-132 64768
112
-74
165
-151
146
-132
14
1.8 SISTEMA HEXADECIMAL
1.8.1.- Efectuar las siguientes sumas en hexadecimal.
a.- 4A365B16 b.- A2B9CF16
+ 24BFD16 +4B3A9 16
4 C815816 A76D78 16
1.8.2 Efectuar las siguientes restas:
a.- A2B9CF16 b.- DAC.6FD916
-4B3A916 6.29EA16
9E062616 DA6.45EF16
1.8.3. Efectuar las siguientes multiplicaciones
a.- 2D5F16 b.- 2 2 5 F16
x A5B16 x 9 5 B16
1F315 1 7 A1 5
E2DB AB DB
1C5B6 135 5 7
1D5D6C516 14 1B EC516
1.8.4 Efectuar la siguiente división
a.- BA23CF9816 / 2A916
BA23CF9816 2A916
-AA4 45F92916
FE3
-D4D
296C
-27E7
185F
-17F1
6E9
-552
1978
-17F1
187
1.9. CONVERTIR ENTRE LOS SISTEMAS DECIMAL Y HEXADECIMAL
1.9.1 Convertir de decimal a hexadecimal:
a.- 243510 a N16 Por lo tanto 243510 = 98316
2435 16
152 16
9 16
0
b.- 8799.23610 a N16
Parte entera Parte fraccionaria
8799 16 .236 X 16 = 3.776
549 16 .776 X 16 = C.416
34 16 .416 X 16 = 6.656
2 16 .656 X 16 = A.496
0 .496 X 16 = 7.936
Por lo tanto 8799.23610 = 225F.3C6A716
1.9.2 Convertir de hexadecimal a decimal
a.- A2B9CF16 a N10
F = 15 X 160 = 15
C = 12 X 161 = 192
9 = 9 X 162 = + 2304
B = 11 X 163 = 45056
2 = 2 X 164 = 131072
A = 10 X 165 = 10485760
10664399
Por lo tanto A2B9CF16 = 1066439910
b.- A2C.F316 a N10
Parte entera Parte fraccionaria
C = 12 X 100 = 12 F = 15 X 16-1 = .9375
2 = 2 X 161 = +32 3 = 3 X 16-2 = .011718
A = 10 X 162 = 2560 .949218
2604
Por lo tanto A2C.F316 = 2604.94921810
1.10 CONVERSION RAPIDA ENTRE SISTEMAS BINARIOS, OCTAL Y HEXADECIMAL
Para convertir un número del sistema binario al sistema octal, se separa el número en grupos de 3 bits y se pone para cada grupo su equivalencia en octal. Para convertir un número del sistema binario al hexadecimal, se separa el número en grupos de 4 bits, y se pone para cada grupo su equivalencia en hexadecimal.
Para pasar de octal hexadecimal al binario, el proceso es el inverso del que quedo descrito anteriormente.
1.10.1 Conversión de octal a binario:
a.- 4567268 a N2
4 5 6 7 2 6
110
010
111
110
101
100
Por lo tanto 4567268 = 1001011101110101102
b.- 6743.28 a N2
6 7 4 3 . 2
.010
011
100
111
110
Por lo tanto 6743.28 = 110111100011.0102
1.10.2 Conversión de hexadecimal a binario
a.- 67ABC916 a N2
6 7 A B C 9
1001
1100
1011
1010
0111
0110
Por lo tanto 67ABC916 = 0110011110101011110010012
b.- 334BD.A316 a N2
3 3 4 B D . A 2
0011
. 1010
1101
1011
0100
0011
0011
Por lo tanto 334BD.A316 = 00110011010010111101.101000112
1.10.3 Conversión de binario a octal:
a.- 11011111102 a N8
0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0
1 5 7 6
Por lo tanto 11011111102 = 15768
b.- 1101110.102 a N8
0 0 1 1 0 1 1 1 0 . 1 0 0
1 5 6 4
Por lo tanto 1101110.102 = 156.48
1.10.4 Conversión de binario a hexadecimal
a.- 1101111111001102 a N16
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0
6 F E 6
Por lo tanto 1101111111001102 = 6FE616
b.- 1010101011.102 a N16
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 . 1 0 0 0
2 A B 8
Por lo tanto 1010101011.102 = 2AB.816
1.11 CONVERSION ENTRE TODOS LOS SISTEMAS NUMERICOS
Para convertir un número de cualquier base a una base que ud. desee llegar, lleve a cabo los siguientes pasos:
1. Número X
2. El número X conviértalo a base 10
3. De base 10, convierta a la base deseada Y
Para mayor información fíjese en el grafico Nº 1 y en el ejemplo que se adjunta
5 2 3
7 4
N
16 6 GRAFICO 1.
13
P.E.
Convertir el número 43.67 a N3
1.- Parte entera Parte fraccionaria
3 X 70 = 3 6 x 7-1 = .8571426
4 X 71 = 28
31
2.- 43.67 = 31. 857142610
3.- Parte entera Parte fraccionaria
31 3 .8571426 X 3 = 2.5714278
10 3 .5714278 X 3 = 1.7142834
3 3 .7142834 X 3 = 2.1428502
1 3
0
Entonces el número 31.857142610 = 1011.2123
Por lo tanto 43.67 = 31.857142610 = 1011.2123 (NUMERO BUSCADO)
1.12 NUMEROS BINARIOS NEGATIVOS
1.12.1 Codificación en valor absoluto y signo
El número binario negativo puede ser codificado de varias formas lo fundamental es prever un bit de signo: generalmente es un 0 para el +, y un 1 para el menos.
Así, el número 1310, que se escribe 1101 en binario da + 1310 = 011012 y -1310 = 111012
Existen otros procedimientos de codificación. Para recordarlos es conveniente atenerse a dos definiciones:
1.12.2 El complemento A2
Se obtiene el complemento A2 (0 complemento verdadero) de un número binario añadiendo 1 al complemento restringido, así
El complemento a 2 de 1011 es 0100 + 1 = 0101;
El complemento a 2 de 0100 es 1011 + 1 = 1100.
1.12.3 El complemento A 1
Se forma el complemento a 1 (0 complemento restringido) de un número binario, cambiando todos los ceros por unos, y todos los unos en ceros, Por Ejemplo.:
El complemento A 1 de 1011 es 0100;
El complemento A 1 de 0100 es 1011.
1.12.4 Otras formas de codificación de números negativos
Los complementos A1 y A2 proporcionan, pues, otros medios de codificar los números binarios negativos, como se muestran en la tabla 1ª
DECIMAL VALOR ABSOLUTO Y SIGNO COMPLEMENTO RESTRINGIDO (A1) COMPLEMENTO VERDADERO (A2)
+1
+0
-0
-1
-2
:
:
-7
-8
-9 0 0001
0 0000
1 0000
1 0001
1 0010
:
:
1 0111
1 1000
1 1001
0 0000
1 1111
1 1110
1 1101
:
:
1 1000
1 0111
1 0110
0 0000
1 0000
1 1111
1 1110
:
:
1 1001
1 1000
1 0111
TABLA 1 A LOS COMPLEMENTOS A1 Y A2 DE LOS NUMEROS NEGATIVOS
1.12.5 Operaciones
1.12.5.1 Codificación en valor absoluto y signo
Recuerde que consiste en dedicar el bit más significativo de la izquierda como signo.
Si = 1 es negativo
Si = 0 es positivo
Por Ejemplo.
7 = 0 111
Signo (positivo)
-7 = 1 111
Signo (negativo)
5 = 0 101
Signo (positivo)
-2 = 1 010
Signo (negativo)
1.12.5.2 Complemento A2
a.- Representar -5 en complemento A2 y con cuatro bits
5 = 0 1 0 1
Complemento = 1 0 1 0
Agregar 1 = + 1
-5 = 1 0 1 1
Por lo tanto el número negativo -510 = 10112
b.- Representar -8 en complemento A2 y con cinco bits
8 = 0 1 0 0 0
Complemento = 1 0 1 1 1
Agregar 1 = + 1
-8 = 1 1 0 0 0
Por lo tanto el número negativo -810 = 110002
c.- Ejecutar en complemento A2 con cuatro bits -7 + 5
-7 = 1 0 0 1 7 = 0 1 1 1
5 = 0 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 + 1
-7 = 1 0 0 1
Por lo tanto el resultado de -7 +5 = 1110.
Significa que el resultado para la computadora es 1110
Es prudente informar que los números positivos son también los complementos A2 de los números negativos.
Por Ejemplo.:
El complemento del numero anterior A2.
1 1 1 0
0 0 0 1
+ 1
0 0 1 0 = resultado positivo
d.- ejecutar 5 -1 a complemento A2 con cuatro bits.
5 = 0101 1 = 0001
+1111 1110
0100 +1
Se ignora -1 = 1111
Por lo tanto el resultado de 5 – 110 = 01002
e.- Ejecutar 4 – (-2) a complemento A2 con 4 bits.
4 = 0 1 0 0 2 = 0 0 1 0
2 = + 0 0 1 0 1 1 0 1
6 = 0 1 1 0 + 1
-2 = 1 1 1 0
0 0 0 1
+ 1
- (-2) = 0 0 1 0
Por lo tanto el resultado de 4 – (-2)10 = 0 1 1 0
f.- Ejecutar 7 -3 a complemento A2 con 4 bits.
7 = 0 1 1 1 3 = 0 0 1 1
-3 = 1 1 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 + 1
Se ignora -3 = 1 1 0 1
1.12.5.3 Complemento A1
El complemento A 1 se obtiene complementando cada uno de sus bits.
P. E.:
Representar -5 con 4 bits
5 = 0 1 0 1
-5 = 1 0 1 0
La suma se realiza igual que en el complemento A2, pero cuando ocurre acarreo se suma uno al resultado final
a.- Ejecute -7+5 a complemento A1 con 4 bits
-7 = 1 0 0 0 7 = 0 1 1 1
5 = + 0 1 0 1 -7 = 1 0 0 0
1 1 0 1 = (resultado para la computadora)
b.- Ejecutar -1+6 a complemento A1
-1 = 1 1 1 0 1 = 0 0 0 1
6 = + 0 1 1 0 -1 = 1 1 1 0
0 1 0 0
Acarreo
0 1 0 0
+ 1
0 1 0 1 = 5 (cantidad positiva)
c.- Ejecutar 5 – 2 a complemento A 1 con cuatro bits
5 = 0 1 0 1 2 = 0 0 1 0
-2 = + 1 1 0 1 -2 = 1 1 0 1
0 0 1 0
Acarreo
0 0 1 0
+ 1
0 0 1 1 = 3 (cantidad positiva)
Por lo tanto el resultado de 5 -2 10 = 0 0 1 12
1.12.6 Método para detectar sobre capacidad (overflow) en números complementados A2.
1. Antes de sumar las dos cantidades se repite el bit más significativo (mas a la izquierda).
2. Ejecutar la suma usando N + bits, ignorar el acarreo en el bit N+ 2
3. Examinar los dos últimos bits, el resultado del bit N+1; hay overflow o sobre capacidad si los dos bit más a la izquierda no son idénticos.
a.- Ejecutar -7+5 a complemento A2
-7 = 1n+1 1n 0 0 1 7 = 0 1 1 1
5 = 0n+1 0n 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 +1
= -7 = 1 0 0 1
Son idénticos por lo tanto
No hay overflow.
b.- Ejecutar 6+4 a complemento A2
6 = 0n+1 0n 1 1 0
-5 = 0n+1 0n 1 0 1
0 1 0 1 0
= No son idénticos por lo tanto
Existe overflow.
1.12.7. Overflow en complemento A1
El procedimiento es idéntico al complemento A 2, solo que cuatro aparezca el bit N +1 este se debe adicionar al resultado.
P.E.:
a.- Ejecutar 5+2 al complemento A1 con cuatro bits.
5 = 0n+1 0n 1 0 1
-5 = 0n+1 0n 0 1 0
0 0 1 1 1
=
El resultado es idéntico
No hay overflow.
b.- Ejecutar -4-4 al complemento A 1
-4 = 1n+1 1n 0 1 1 4 = 0 1 0 0
4 = 1n+1 1n 0 1 1 -4 = 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0
+ 1
1 0 1 1 1
=
El resultado no es idéntico
Por lo tanto existe overflow.
1.13 Efectuar los siguientes problemas:
a.- Convertir del sistema binario al decimal:
1110101112 a N10
1101001.11012 a N10
10011111.11012 a N10
b.- Convertir del sistema decimal al binario
8610 a N2
69.4610 a N2
99.9610 a N2
c.- Efectuar las siguientes operaciones binarias
11110112 111110.112
+ 11111002 001011.012
10110112 + 110111.112
10110112 110111.112
101110.112
011111.102
11010102 101101.1012
-01101112 - 011101.1112
1101111 x 101 11101111 x 11112
1011112/112 111110112/1012
d.- Efectuar las siguientes operaciones octales:
2456328 10647.678
+ 5434648 + 01432.568
6532458 12346.778
6674328 3456.7678
- 2432148 - 367.6768
456768 x 2438 4567765438 x 2458
46576628 / 428
e.- Efectuar las siguientes operaciones hexadecimales:
1AB69F16 6FACA916
+ 24 678A16 - 467 ABB16
56 78BB16