Hola a todos queria compartir el procedimiento para obtener los extremos de funciones de varias variables.
-En primer lugar quiero aclarar que no voy a profundizar demasiado en el tema porque hay mucha teoria sobre esto, personalmente recomiendo Calculo vectorial de Marsden Tromba que tiene practicamente todo lo necesario para aprobar Analisis 1 de exactas.
-Algo similar a lo que ocurre con el caso de una variable, los candidatos a maximos y minimos seran los puntos que al evaluarlos en el vector gradiente den cero.
-El vector gradiente de una funcion es un vector "normal" (o perpendicular) al plano tangente de una funcion, y esta defiido como un vector formado por las derivadas parciales de la funcion.
-Luego esos puntos se reemplazan en la matriz "Hessiano" compuesta por las derivadas parciales y se procede a analizar.
-Criterio 1 :
Si todos los autovalores son >0, entonces es un minimo
Si todos los autovalores son <0, entonces es un maxmo
Si hay por lo menos dos autovalores con distinto signo, entonces no existe.
-Criterio 2:
Este criterio solo es valido para matrices "2x2".
Este criterio dice que se calcula el determinante del Hessiano y se analiza de la siguiente manera:
Si el determinante >0 entonces se cumple que:
Siendo "a" el primer valor de la matriz: Si a>0 entonces es un minimo;
Si a<0 entonces es un maximo.
Si el determinante <0 entonces no es extremo, pero hay un "punto silla".
Si el determinante es = 0, entonces hay duda y hay que utilizar algun metodo que conozcamos. A veces alcanza con obserbar la funcion.
Bueno esto fue el metodo para encontrar los extremos de funciones de varias variables y espero que les alla gustado.