Bueno, hace mucho no estaba por taringa y veo que ya esta re modelado jaja, estuve ausente por el tema de las evaluaciones, pero ahora que volví sigo con el tema de matemática. El siguiente tema es numero complejos, para mi, el mas fácil y lindo de todos los que les voy a explicar. Y hablando de eso, saque la previa de matemática así que lo que les digo en los post es confiable jaja
Obviamente pueden seguir subiendo los exponentes, es decir, i elevado a la 4, lo que se hace es empezar de 0 la tabla, por ejemplo, i elevado a 4 es lo mismo que i elevado a la 0. Un truco para esto, si tenemos por ejemplo i elevado a 55, para no hacer toda la vuelta para ver en que numero cae es dividir el numero sobre 4, nos fijamos en el resto, en este caso es 3, por lo tanto i^55 = i^3 = -i
DEFINICIÓN
A mi gusto, es uno de los temas mas simples, esto nos dice, que la raíz de un numero negativo (por concepto no existe) es igual a i. Es simplemente eso, es decir, raiz cuadrada de -4 es igual a 2i. No se crean que esta muy relación con radicales jaja porque, por lo menos lo que yo tuve que estudiar, aparecen raíces en el 1% de los casos.
Lo bueno de los números complejos es que no tienen propiedades, por lo que directamente paso a explicar lo que se hace en los diferentes casos (suma, resta, multiplicación y división) y luego el resto de los temas.
Antes de seguir explicando, hay que explicar una de sus tres formas, los números complejos se pueden expresar en forma binomica, polar y trigonométrica. Por ahora explicare la binomica, luego explicare las otras 2
FORMA BINOMICA
Es la forma mas simple y con la que mas vamos a trabajar, esto nos dice que se representa justamente en un binomio, es decir, nos términos, uno que esta formado solamente por la parte real, y otro solamente por la parte imaginaria, con números se vería así 2 + 3i
Ya que estoy explicando esto aprovecho a explicar los conjugados que es algo que a mucha gente confunde. El conjugado es por decirlo de una forma simple para que se entienda, cambiar el signo del medio. Es sencillo, es simplemente esto. 2 + 3i = 2 - 3i
Ahora que pasa si tenemos solamente uno de los datos? Bueno, si solamente tenemos la parte real, queda igual 2 = 2. Esto es así ya que si no hay parte imaginaria es lo mismo que decir 2 + 0i = 2 - 0i el signo cambio afecta al 0, por lo tanto no se representa.
Ahora que pasa si tenemos solamente uno de los datos? Bueno, si solamente tenemos la parte real, queda igual 2 = 2. Esto es así ya que si no hay parte imaginaria es lo mismo que decir 2 + 0i = 2 - 0i el signo cambio afecta al 0, por lo tanto no se representa.
Ahora si solo tenemos la parte imaginaria cambio 3i = -3i Esto es así ya que 0 + 3i = 0 - 3i en este caso el signo si afecta a la parte imaginaria que no vale cero por lo tanto cambia.
Una vez explicado esto, pasamos a las operaciones básicas.
SUMA
La suma y la resta son lo mas fácil que hay. se suman dos binomios, como ya dije, se trabaja en las operaciones básicas con binomios. Lo único que hay que hacer es sumar por una parte la parte real y por otra la imaginaria. es decir:
Como verán no tiene mas complejidad que eso, a lo mucho que se sumen mas de 2 binomios, pero se hace lo mismo, solamente que se suma un numero mas en la parte real y un numero mas en la parte imaginaria.
RESTA
Es
prácticamente lo mismo que la suma, adquiere un cierto grado mayor de dificultad, pero no tanto como para convertirlo en un tema complejo (ba dumm tss)
Lo que se hace es cambiar el signo del binomio que este adelante del signo "-" y luego se suma. Es decir:
Como ven, lo que se hace es cambiar los signos del segundo binomio (esto se hace porque es el binomio que esta afectado por el signo "-" no porque sea una regla cambiar el segundo, es decir, si hay una operación combinada de 3 binomios en donde es "() + () - ()" solo se cambiaran los signos que esten dentro del 3er binomio).
MULTIPLICACIÓN
Antes de explicar la multiplicación hay una "tabla" que voy a poner y voy a explicar
Obviamente pueden seguir subiendo los exponentes, es decir, i elevado a la 4, lo que se hace es empezar de 0 la tabla, por ejemplo, i elevado a 4 es lo mismo que i elevado a la 0. Un truco para esto, si tenemos por ejemplo i elevado a 55, para no hacer toda la vuelta para ver en que numero cae es dividir el numero sobre 4, nos fijamos en el resto, en este caso es 3, por lo tanto i^55 = i^3 = -i
Bueno, los que ya la tienen clara en matemática con esto se darán cuenta que la multiplicación se hace por distributiva. Esto lo que quiere decir es que si tengo una i que me queda con exponente 2 (es lo mas común que pase en los ejercicios) esta se transforma en -1.
DIVISIÓN
Este calculo es muy parecido a la racionalización. Lo que se hace es multiplicar al nominador y al denominador por el conjugado del denominador.
Bueno ya terminamos las 4 operaciones básicas. Como ven es muy sencillo comparado con los dos temas anteriores.
Ahora voy a explicar la representación en la recta
REPRESENTACIÓN
EN LA RECTA
De nuevo es algo muy sencillo, el eje de las x representa la parte real y el eje de las y representa la parte imaginaria
Empiezen desde el minuto 1:50
MODULO, ARGUMENTO Y FORMA POLAR
Antes que nada hay que saber que para pasar a forma polar solo se puede si antes esta en forma binomica, es decir, forma binomica -------> forma polar
Una vez que saquemos el modulo y argumento, utilizamos estos para pasar el numero complejo a forma polar, es decir, pasar (5+12i) a forma polar. El orden en que se saquen estos dos no afecta en nada, se puede sacar primero el que se desse.
Al sacar el modulo y el argumento no se toma en cuenta la "i" se trabaja con los dos números solos.
Al sacar el modulo lo que se hace es elevar ambos números al cuadrado, sumarlos, y sacar la raíz cuadrada.
Entonces tenemos que el modulo es raíz cuadrada de 14. Si quieren pueden expresar este valor en decimales, eso ya es cuestión de su profesor.
Ahora para sacar el argumento es un poco mas difícil, lo que se hace es dividir b/a pero en la calculadora, luego de obtener el resultado hacemos "SHIFT TAN B/A". Por ultimo apretamos el boton de la calculadora para ver el resultado en grados.
Antes de seguir, es necesario explicar algo sobre el calculo del argumento. Dependiendo el signo de ambos números cambiara el angulo que dará al final.
Que quiere decir esto?
En el caso que ambos números tengan valores positivos el grado que nos da es el que utilizamos.
En el caso que b sea positivo y a negativo, hacemos 180° menos el grado que nos dio
Si ambos son positivos hacemos 180° mas el grado que nos dio
Por ultimo que b es negativo y a positivo se hace 360° menos el grado que nos dio.
Ya hecho el modulo y el argumento lo unico que hay que hacer para expresarlo en forma polar es, poner el resultado del modulo y agregar el del argumento como un sub indice, seria asi.
Justo hasta el minuto explica modulo argumento y forma polar
MULTIPLICACIÓN,
DIVISIÓN Y POTENCIA EN FORMA POLAR
Es mas fácil de lo que suena jaja. Lo que hay que hacer en el caso de la multiplicación es multiplicar los módulos y sumar los argumentos.
En el caso de la división se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Y por ultimo, en el caso de la potencia, lo que se hace es elevar el modulo y multiplicar el argumento por el exponente.
FORMA TRIGONOMETRICA
Primero, para pasar a forma trigonométrica, solo se puede si anteriormente esta en forma polar, es decir, forma polar ---------> forma polar
Lo que hacemos es una multiplicación, multiplicamos el modulo por el coseno del argumento y le sumamos el seno del argumento * i
Créanlo o no, eso es lo único que se hace para pasar a la forma trigonométrica jaja.
Ahora bien, como se adran cuenta apareció una i, ademas obviamente se puede multiplicar, si multiplicamos, volvemos a la forma trigonométrica que obviamente es la misma que con la que empezamos, ya que no son distintos resultados, si no que son formas distintos de expresarlo.
Como vemos en la forma trigonométrica, hay un signo mas en el medio, obviamente no se pueden sumar porque una parte es real y la otra imaginaria por lo tanto queda 5 + 12i
Como verán las 3 formas son puentes, de una se pasa a otra y así, lo voy a dejar plasmado en un grafico
Esto se lo tienen que saber así a la hora de traspasar entre las 3 formas, se les hace mas fácil. De la forma binomica solo se puede pasar a la forma polar, de la forma polar solo se puede pasar a la forma trigonométrica y de la forma trigonométrica solo se puede pasar a la forma binomica.
Bien, ahora una acotación sobre la forma polar, puede ser que en un ejercicio ya les den la forma polar, pero se la den de alguna de estas formas.
Puse la barra en el medio para que entiendan que son dos ejemplos distintos jaja. Bien, nos encontramos con un problema, tenemos en el argumento a pi, como veremos en otro tema mas adelante, pi, es lo mismo que decir 180°, entonces lo que hacemos es reemplazar a pi por 180° y hacer la operación correspondiente
Y como ultimas dos acotaciones
1) si se encuentran alguna vez con "Z" eso significa que esta hablando de numeros complejos, mas comúnmente forma binomica
1) si se encuentran alguna vez con "Z" eso significa que esta hablando de numeros complejos, mas comúnmente forma binomica
2) cuando encuentren una "Z" con una barrita arriba significa que tienen que poner su conjugado.
Por ultimo un par de acotaciones.
Primero, como verán en este post, a diferencia de los otros, deje vídeos después de cada explicación, eso es por las dudas de que no hayan entendido con mi explicacion
Segundo, voy a modificar los otros 2 post también agregándole vídeos y escribiendo los ejemplos de una forma mas prolija.
Por ultimo, aca les dejo hojas con ejercicios y la regla del binomio al cuadrado y al cubo
Bueno chicos, creo que los resultados que están anotados los puse en 3ro, pero no me fije si me dieron igual a los de ahora, pero los que tengo ahora están bien porque encontré una calculadora de números complejos en Internet así que los corrobore, así que si quieren saber el resultado de uno, preguntenme
Bueno, eso es todo lo que yo se de números complejos, si alguna vez se mas sobre esto, lo agregare al tema. Cualquier duda me consultan, espero que les haya servido, hasta luego.