En este hermoso video encontrarás una serie de elementos que por si solos son apasionantes y que unidos conforman una de las ramas más bellas del conocimiento del ser humano, las matemáticas.
La Leyenda de Sessa
El rey Check-Rama, maravillado por el invento del ajedrez, pidió a su inventor, el brahmán Sessa, que eligiese él mismo su recompensa. Éste pidió un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente, doblando cada vez el número de granos de la casilla anterior. Lo que parecía una petición modesta resultó imposible de satisfacer, ya que el total de granos solicitados era de 2 elevado a 64, o lo que es lo mismo: 18.446.744.073.709.551.616. Una cantidad muy superior a la capacidad de todos los graneros del vasto Imperio Persa
Los cinco sólidos platónicos
Platón sabía que sólo existen cinco poliedros convexos regulares:
— El tetraedro regular, compuesto por cuatro triángulos equiláteros.
— El cubo o hexaedro regular, formado por seis cuadrados.
— El octaedro regular, formado por ocho triángulos equiláteros.
— El dodecaedro regular, compuesto por doce pentágonos.
— El icosaedro regular, formado por veinte triángulos equiláteros.
Todos ellos, por cierto, tienen un desarrollo plano y son fácilmente construibles en cartulina
Mosaicos homogéneos
Existen once tipos de mosaicos “homogéneos” (regulares + semiregulares), es decir, aquellos que están formados exclusivamente con polígonos regulares, que pueden construirse a partir de triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Sólo uno de ellos se presenta bajo dos formas diferentes por reflexión (los dos del centro), dando lugar a los doce de la ilustración
Último teorema de Fermat
Se trata de uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Dice así: “si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x,y,z tales que se cumpla la igualdad de la derecha (con x,y,z no nulos)
Fórmula de Euler
Se considera como una de las fórmulas más “bellas”, ya que interrelaciona varios de los números más importantes de la matemática, como podemos ver a la izquierda. Además establece una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Ah, y ya os podéis imaginar cuál es “La fórmula preferida del profesor”, un bonito libro de la escritora japonesa Yoko Ogawa
Curvas Cicloides
En el modelo que aparece en la animación vemos cómo se origina una curva a partir de una rueda que gira sobre una base recta, sin deslizarse. Si el punto generador se encontrase en el borde mismo de la rueda obtendríamos una cicloide común, pero en nuestro modelo el radio puede variar, para dar lugar a cicloides alargadas o acortadas. Son unas curvas muy bellas, y con muchas aplicaciones en ingeniería y construcción
Máquina de Galton
Se trata de un dispositivo desarrollado por Francis Galton que sirve para demostrar el Teorema del Límite Central. De tal modo que al soltar un montón de bolitas por el embudo superior finalmente acaban distribuyéndose en la base de un modo que se aproxima a la famosa “campana de Gauss”
Anamorfosis
Se trata de una deformación de una imagen que, al ser observada desde cierto ángulo o a través de un procedimeinto óptico —como un espejo curvo— nos proporciona la imagen original. Se ha empleado con frecuencia a lo largo de la historia de la pintura. De hecho, en una de las postales que también aparecen en al animación, “Los Embajadores” también aparece este recurso. Ah, y no os perdáis el trabajo de István Orosz, que tiene algunos trabajos preciosos usando estas técnicas
Tres esferas II
Este es (otro) guiño a Escher, que también creó una pequeña ilustración con estos elementos. Y al mismo tiempo es una especie de homenaje a la infografía 3D, ya que la esfera suele emplearse como elemento básico para representar el color, la reflexión, la refracción y el resto de características materiales.
Péndulo de Newton
Es un dispositivo que demuestra la conservación de la energía y la cantidad de movimiento. Lo hemos visto en multitud de películas como típico juguete o gadget para escritorios
Esta es una ingeniosa construcción ideada por Leonardo da Vinci, en la que se logra la estabilidad de toda la estructura sin necesidad de usar clavos, cuerdas ni ningún otro tipo de fijaciones. La idea del modelo la saqué de una interesante exposición montada por el Museo de Matemàtiques de Catalunya (MMACA).
Basado en otro famoso y sencillo grabado de Escher. En él hay un “juego múltiple”, ya que lo que parece ser una esfera es en realidad un círculo plano con un dibujo de una trama reticulada que simula el volumen de la esfera. Para hacer más evidente el “juego” Escher representa la misma esfera (un disco plano, realmente) puesta en vertical, tumbada y doblada por la mitad. Lo irónico del asunto es que cuando estamos viendo el dibujo original de Escher, todo es otro doble juego, ya que tampoco es real esa sensación de perspectiva en ninguno de los discos (todo es simulado, sigue siendo un DIBUJO). Y como curiosidad final, para la animación se ha tenido que construir un modelo 3D, esta vez sí, aunque claro, al verlo en nuestras pantallas seguimos viendo algo 2D.
Triángulo de Reuleaux
Este ha sido un objeto que siempre me ha llamado mucho la atención, desde que lo descubrí hace muchos años gracias a la maravillosa Enciclopedia Salvat del Estudiante, que mi madre empezó a comprarme por fascículos cuando yo tenía diez años. Me sorprendió mucho averiguar que era posible construir rodillos con esta sección quasi-triangular y hacer que una plataforma pudiera deslizarse por ellos, como si fueran cilindros, sin ningún traqueteo. O que se pueden realizar agujeros cuadrados si usamos brocas con esta sección (aunque lógicamente no deberían girar respecto al centro, sino que tendrían que realizar el movimiento que se ve en la animación)
Puzle de Sam Loyd
Otra idea sacada de la exposición organizada por el MMACA. Es uno de esos puzles que puede costar hacer bastante más de lo que aparenta a primera vista. Pero una vez te explican el método para resolverlo (clasificando las piezas de una determinada manera) resulta facilísimo. En este enlace podéis verlo en la web del MMACA, y si pincháis sobre el signo interrogante veréis el mencionado método. Sam Loyd fue un conocido jugador y compositor de ajedrez, autor de rompecabezas y matemático recreativo
Los siete puentes de Königsberg
En la ciudad de Königsberg (actual Kaliningrado, Rusia) el río Pregel se ramificaba en dos cauces. Se formaba así una isla que comunicaba con las orillas mediante siete puentes, como se muestra en la maqueta superior. La tradición decía que una de las distracciones de sus habitantes consistía en tratar de recorrer los siete puentes sin pasar más de una vez por el mismo. El matemático suizo Leonhard Euler, que vivió en la corte de Rusia, demostró que era imposible realizar semejante paseo
Reptiles
Este es el principal protagonista de la animación. Una de las obras más conocidas de Escher, en donde juega con la combinación de teselas complejas bidimensionales y su transformación en elementos tridimensionales —los cocodrilos—. Aquí, además, Escher también aplica cierto sentido del humor, buscando la paradoja, pero sin pretender trascender con explicaciones filosóficas de ningún tipo. Aunque mucha gente siempre quiere ver profundos sentidos esotéricos, incluso allá donde no los hay, como podéis leer en el artículo de la Wikipedia
Si te gustan las matemáticas , busca la Comunidad de Matemáticas Taringa
Lo elementos que aparecen acá en el video son estos:
La Leyenda de Sessa
El rey Check-Rama, maravillado por el invento del ajedrez, pidió a su inventor, el brahmán Sessa, que eligiese él mismo su recompensa. Éste pidió un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente, doblando cada vez el número de granos de la casilla anterior. Lo que parecía una petición modesta resultó imposible de satisfacer, ya que el total de granos solicitados era de 2 elevado a 64, o lo que es lo mismo: 18.446.744.073.709.551.616. Una cantidad muy superior a la capacidad de todos los graneros del vasto Imperio Persa
Los cinco sólidos platónicos
Platón sabía que sólo existen cinco poliedros convexos regulares:
— El tetraedro regular, compuesto por cuatro triángulos equiláteros.
— El cubo o hexaedro regular, formado por seis cuadrados.
— El octaedro regular, formado por ocho triángulos equiláteros.
— El dodecaedro regular, compuesto por doce pentágonos.
— El icosaedro regular, formado por veinte triángulos equiláteros.
Todos ellos, por cierto, tienen un desarrollo plano y son fácilmente construibles en cartulina
Mosaicos homogéneos
Existen once tipos de mosaicos “homogéneos” (regulares + semiregulares), es decir, aquellos que están formados exclusivamente con polígonos regulares, que pueden construirse a partir de triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Sólo uno de ellos se presenta bajo dos formas diferentes por reflexión (los dos del centro), dando lugar a los doce de la ilustración
Último teorema de Fermat
Se trata de uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Dice así: “si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x,y,z tales que se cumpla la igualdad de la derecha (con x,y,z no nulos)
Fórmula de Euler
Se considera como una de las fórmulas más “bellas”, ya que interrelaciona varios de los números más importantes de la matemática, como podemos ver a la izquierda. Además establece una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Ah, y ya os podéis imaginar cuál es “La fórmula preferida del profesor”, un bonito libro de la escritora japonesa Yoko Ogawa
Curvas Cicloides
En el modelo que aparece en la animación vemos cómo se origina una curva a partir de una rueda que gira sobre una base recta, sin deslizarse. Si el punto generador se encontrase en el borde mismo de la rueda obtendríamos una cicloide común, pero en nuestro modelo el radio puede variar, para dar lugar a cicloides alargadas o acortadas. Son unas curvas muy bellas, y con muchas aplicaciones en ingeniería y construcción
Máquina de Galton
Se trata de un dispositivo desarrollado por Francis Galton que sirve para demostrar el Teorema del Límite Central. De tal modo que al soltar un montón de bolitas por el embudo superior finalmente acaban distribuyéndose en la base de un modo que se aproxima a la famosa “campana de Gauss”
Anamorfosis
Se trata de una deformación de una imagen que, al ser observada desde cierto ángulo o a través de un procedimeinto óptico —como un espejo curvo— nos proporciona la imagen original. Se ha empleado con frecuencia a lo largo de la historia de la pintura. De hecho, en una de las postales que también aparecen en al animación, “Los Embajadores” también aparece este recurso. Ah, y no os perdáis el trabajo de István Orosz, que tiene algunos trabajos preciosos usando estas técnicas
Tres esferas II
Este es (otro) guiño a Escher, que también creó una pequeña ilustración con estos elementos. Y al mismo tiempo es una especie de homenaje a la infografía 3D, ya que la esfera suele emplearse como elemento básico para representar el color, la reflexión, la refracción y el resto de características materiales.
Péndulo de Newton
Es un dispositivo que demuestra la conservación de la energía y la cantidad de movimiento. Lo hemos visto en multitud de películas como típico juguete o gadget para escritorios
Esta es una ingeniosa construcción ideada por Leonardo da Vinci, en la que se logra la estabilidad de toda la estructura sin necesidad de usar clavos, cuerdas ni ningún otro tipo de fijaciones. La idea del modelo la saqué de una interesante exposición montada por el Museo de Matemàtiques de Catalunya (MMACA).
Basado en otro famoso y sencillo grabado de Escher. En él hay un “juego múltiple”, ya que lo que parece ser una esfera es en realidad un círculo plano con un dibujo de una trama reticulada que simula el volumen de la esfera. Para hacer más evidente el “juego” Escher representa la misma esfera (un disco plano, realmente) puesta en vertical, tumbada y doblada por la mitad. Lo irónico del asunto es que cuando estamos viendo el dibujo original de Escher, todo es otro doble juego, ya que tampoco es real esa sensación de perspectiva en ninguno de los discos (todo es simulado, sigue siendo un DIBUJO). Y como curiosidad final, para la animación se ha tenido que construir un modelo 3D, esta vez sí, aunque claro, al verlo en nuestras pantallas seguimos viendo algo 2D.
Triángulo de Reuleaux
Este ha sido un objeto que siempre me ha llamado mucho la atención, desde que lo descubrí hace muchos años gracias a la maravillosa Enciclopedia Salvat del Estudiante, que mi madre empezó a comprarme por fascículos cuando yo tenía diez años. Me sorprendió mucho averiguar que era posible construir rodillos con esta sección quasi-triangular y hacer que una plataforma pudiera deslizarse por ellos, como si fueran cilindros, sin ningún traqueteo. O que se pueden realizar agujeros cuadrados si usamos brocas con esta sección (aunque lógicamente no deberían girar respecto al centro, sino que tendrían que realizar el movimiento que se ve en la animación)
Puzle de Sam Loyd
Otra idea sacada de la exposición organizada por el MMACA. Es uno de esos puzles que puede costar hacer bastante más de lo que aparenta a primera vista. Pero una vez te explican el método para resolverlo (clasificando las piezas de una determinada manera) resulta facilísimo. En este enlace podéis verlo en la web del MMACA, y si pincháis sobre el signo interrogante veréis el mencionado método. Sam Loyd fue un conocido jugador y compositor de ajedrez, autor de rompecabezas y matemático recreativo
Los siete puentes de Königsberg
En la ciudad de Königsberg (actual Kaliningrado, Rusia) el río Pregel se ramificaba en dos cauces. Se formaba así una isla que comunicaba con las orillas mediante siete puentes, como se muestra en la maqueta superior. La tradición decía que una de las distracciones de sus habitantes consistía en tratar de recorrer los siete puentes sin pasar más de una vez por el mismo. El matemático suizo Leonhard Euler, que vivió en la corte de Rusia, demostró que era imposible realizar semejante paseo
Reptiles
Este es el principal protagonista de la animación. Una de las obras más conocidas de Escher, en donde juega con la combinación de teselas complejas bidimensionales y su transformación en elementos tridimensionales —los cocodrilos—. Aquí, además, Escher también aplica cierto sentido del humor, buscando la paradoja, pero sin pretender trascender con explicaciones filosóficas de ningún tipo. Aunque mucha gente siempre quiere ver profundos sentidos esotéricos, incluso allá donde no los hay, como podéis leer en el artículo de la Wikipedia
Si te gustan las matemáticas , busca la Comunidad de Matemáticas Taringa