Les recomiendo que lo lean
Fragmento de "El hombre que calculaba" de Malba Tahan.
Al ver a Beremiz interesado en comprar el turbante azul, le dije:
-Me parece una locura ese lujo. Tenemos poco dinero, y aún no
pagamos la hostería.
-No es el turbante lo que interesa, respondió Beremiz. Fíjate en
que esta tienda se llama “Los cuatro cuatros”. Es una coincidencia
digna de la mayor atención.
-¿Coincidencia? ¿Por qué?
-La inscripción de ese cartel recuerda una de las maravillas del
Cálculo: empleando cuatro cuatros podemos formar un número
cualquiera…
Y antes de que le interrogara sobre aquel enigma, Beremiz explicó
mientras escribía en la arena fina que cubría el suelo:
-¿Quieres formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir:
44 – 44
Ahí tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual
a cero.
Pasemos al número 1. Esta es la forma más cómoda
44
44
Esta fracción representa el cociente de la división de 44 por 44. Y
este cociente es 1. ¿Quieres ahora el número 2? Se pueden utilizar fácilmente los
cuatro cuatros y escribir:
4 4
-- + --
4 4
La suma de las dos fracciones es exactamente igual a 2. El tres es
más difícil. Basta escribir la expresión:
4 + 4 + 4
4
Fíjate en que la suma es doce; dividida por cuatro da un cociente
de 3. Así pues, el tres también se forma con cuatro cuatros.
-¿Y cómo vas a formar el número 4? –le pregunté-.
-Nada más sencillo –explicó Beremiz-; el 4 puede formarse de
varias maneras diferentes. He ahí una expresión equivalente a 4.
4 - 4
4 + ----------
4
Observa que el segundo término
4 – 4
4
es nulo y que la suma es igual a 4. La expresión escrita equivale a:
4 + 0, o sea 4.
Me di cuenta de que el mercader sirio escuchaba atento, sin perder
palabra, la explicación de Beremiz, como si le interesaran mucho
aquellas expresiones aritméticas formadas por cuatro cuatros.
Beremiz prosiguió:
-Quiero formar por ejemplo el número 5. No hay dificultad.
Escribiremos:
4 x 4 + 4
4
Esta fracción expresa la división de 20 por 4. Y el cociente es 5. De
este modo tenemos el 5 escrito con cuatro cuatros.
Pasemos ahora al 6, que presenta una forma muy elegante:
4 + 4
---------- + 4
4
Una pequeña alteración en este interesante conjunto lleva al
resultado 7.
44
--- - 4
4
Es muy sencilla la forma que puede adoptarse para el número 8
escrito con cuatro cuatros:
4 + 4 + 4 – 4
El número 9 también es interesante:
4
4 + 4 + ---
4
Y ahora te mostraré una expresión muy bella, igual a 10, formada
con cuatro cuatros:
44 – 4
4
En este momento, el jorobado, dueño de la tienda, que había
seguido las explicaciones de Beremiz con un silencio respetuoso,
observó:
-Por lo que acabo de oír, el señor es un eximio matemático. Si es
capaz de explicarme cierto misterio que hace dos años encontré en
una suma, le regalo el turbante azul que quería comprarme. Y el
mercader narró la siguiente historia:
Presté una vez 100 dinares, 50 a un jeque de Medina y otros 50 a
un judío de El Cairo.
El medinés pagó la deuda en cuatro partes, del siguiente modo:
20, 15, 10 y 5, es decir:
Pagó 20 y quedó debiendo 30
“ 15 “ “ “ 15
“ 10 “ “ “ 5
“ 5 “ “ “ 0
Suma 50 Suma 50
Fíjese, amigo mío, que tanto la suma de las cuantías pagadas
como la de los saldos deudores, son iguales a 50.
El judío cairota pagó igualmente los 50 dinares en cuatro plazos,
del siguiente modo:
Pagó 20 y quedó debiendo 30
“ 18 “ “ “ 12
“ 3 “ “ “ 9
“ 9 “ “ “ 0
Suma 50 Suma 51
Conviene observar ahora que la primera suma es 50 –como en el
caso anterior-, mientras la otra da un total de 51. Aparentemente
esto no debería suceder.
No sé explicar esta diferencia de 1 que se observa en la segunda
forma de pago. Ya sé que no quedé perjudicado, pues recibí el total
de la deuda, pero, ¿cómo justificar el que esta segunda suma sea
igual a 51 y no a 50 como en el primer caso?
-Amigo mío, explicó Beremiz, esto se explica con pocas palabras.
En las cuentas de pago, los saldos deudores no tienen relación
ninguna con el total de la deuda. Admitamos que la deuda de 50
fuera pagada en tres plazos, el primero de 10; el segundo de 5; y el
tercero de 35. La cuenta con los saldos sería:
Pagó 10 y quedó debiendo 40
“ 5 “ “ “ 35
“ 35 “ “ “ 0
Suma 50 Suma 75
En este ejemplo, la primera suma sigue siendo 50, mientras la
suma de los saldos es, como véis, 75; podía ser 80, 99, 100, 260,
800 o un número cualquiera. Sólo por casualidad dará exactamente
50, como en el caso del jeque, o 51, como en el caso del judío.
El mercader quedó muy satisfecho por haber entendido la
explicación de Beremiz, y cumplió la promesa ofreciendo al calculador
el turbante azul que valía cuatro dinares.
-Me parece una locura ese lujo. Tenemos poco dinero, y aún no
pagamos la hostería.
-No es el turbante lo que interesa, respondió Beremiz. Fíjate en
que esta tienda se llama “Los cuatro cuatros”. Es una coincidencia
digna de la mayor atención.
-¿Coincidencia? ¿Por qué?
-La inscripción de ese cartel recuerda una de las maravillas del
Cálculo: empleando cuatro cuatros podemos formar un número
cualquiera…
Y antes de que le interrogara sobre aquel enigma, Beremiz explicó
mientras escribía en la arena fina que cubría el suelo:
-¿Quieres formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir:
44 – 44
Ahí tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual
a cero.
Pasemos al número 1. Esta es la forma más cómoda
44
44
Esta fracción representa el cociente de la división de 44 por 44. Y
este cociente es 1. ¿Quieres ahora el número 2? Se pueden utilizar fácilmente los
cuatro cuatros y escribir:
4 4
-- + --
4 4
La suma de las dos fracciones es exactamente igual a 2. El tres es
más difícil. Basta escribir la expresión:
4 + 4 + 4
4
Fíjate en que la suma es doce; dividida por cuatro da un cociente
de 3. Así pues, el tres también se forma con cuatro cuatros.
-¿Y cómo vas a formar el número 4? –le pregunté-.
-Nada más sencillo –explicó Beremiz-; el 4 puede formarse de
varias maneras diferentes. He ahí una expresión equivalente a 4.
4 - 4
4 + ----------
4
Observa que el segundo término
4 – 4
4
es nulo y que la suma es igual a 4. La expresión escrita equivale a:
4 + 0, o sea 4.
Me di cuenta de que el mercader sirio escuchaba atento, sin perder
palabra, la explicación de Beremiz, como si le interesaran mucho
aquellas expresiones aritméticas formadas por cuatro cuatros.
Beremiz prosiguió:
-Quiero formar por ejemplo el número 5. No hay dificultad.
Escribiremos:
4 x 4 + 4
4
Esta fracción expresa la división de 20 por 4. Y el cociente es 5. De
este modo tenemos el 5 escrito con cuatro cuatros.
Pasemos ahora al 6, que presenta una forma muy elegante:
4 + 4
---------- + 4
4
Una pequeña alteración en este interesante conjunto lleva al
resultado 7.
44
--- - 4
4
Es muy sencilla la forma que puede adoptarse para el número 8
escrito con cuatro cuatros:
4 + 4 + 4 – 4
El número 9 también es interesante:
4
4 + 4 + ---
4
Y ahora te mostraré una expresión muy bella, igual a 10, formada
con cuatro cuatros:
44 – 4
4
En este momento, el jorobado, dueño de la tienda, que había
seguido las explicaciones de Beremiz con un silencio respetuoso,
observó:
-Por lo que acabo de oír, el señor es un eximio matemático. Si es
capaz de explicarme cierto misterio que hace dos años encontré en
una suma, le regalo el turbante azul que quería comprarme. Y el
mercader narró la siguiente historia:
Presté una vez 100 dinares, 50 a un jeque de Medina y otros 50 a
un judío de El Cairo.
El medinés pagó la deuda en cuatro partes, del siguiente modo:
20, 15, 10 y 5, es decir:
Pagó 20 y quedó debiendo 30
“ 15 “ “ “ 15
“ 10 “ “ “ 5
“ 5 “ “ “ 0
Suma 50 Suma 50
Fíjese, amigo mío, que tanto la suma de las cuantías pagadas
como la de los saldos deudores, son iguales a 50.
El judío cairota pagó igualmente los 50 dinares en cuatro plazos,
del siguiente modo:
Pagó 20 y quedó debiendo 30
“ 18 “ “ “ 12
“ 3 “ “ “ 9
“ 9 “ “ “ 0
Suma 50 Suma 51
Conviene observar ahora que la primera suma es 50 –como en el
caso anterior-, mientras la otra da un total de 51. Aparentemente
esto no debería suceder.
No sé explicar esta diferencia de 1 que se observa en la segunda
forma de pago. Ya sé que no quedé perjudicado, pues recibí el total
de la deuda, pero, ¿cómo justificar el que esta segunda suma sea
igual a 51 y no a 50 como en el primer caso?
-Amigo mío, explicó Beremiz, esto se explica con pocas palabras.
En las cuentas de pago, los saldos deudores no tienen relación
ninguna con el total de la deuda. Admitamos que la deuda de 50
fuera pagada en tres plazos, el primero de 10; el segundo de 5; y el
tercero de 35. La cuenta con los saldos sería:
Pagó 10 y quedó debiendo 40
“ 5 “ “ “ 35
“ 35 “ “ “ 0
Suma 50 Suma 75
En este ejemplo, la primera suma sigue siendo 50, mientras la
suma de los saldos es, como véis, 75; podía ser 80, 99, 100, 260,
800 o un número cualquiera. Sólo por casualidad dará exactamente
50, como en el caso del jeque, o 51, como en el caso del judío.
El mercader quedó muy satisfecho por haber entendido la
explicación de Beremiz, y cumplió la promesa ofreciendo al calculador
el turbante azul que valía cuatro dinares.
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