BUENO HEMOS LLEGADO A LA PARTE MAS COMPLICADA DEL CURSO, TAMBIEN ES EL ULTIMO TEMA A DAR, LES SUGIERO PRACTICAR MUCHO ESTE TEMA YA QUE ES VITAL EN EL CURSO DE GAL1, BUENO COMENCEMOS!
Transformaciones Lineales
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BUENO ESTA PARTE SE TRABAJARA UN POCO "A CIEGAS" PORQUE LO QUE VOY A DAR ES UNA MASA DE TEORICO Y PARA COMPRENDER BIEN EL TEMA REQUIERE MUCHA PARTE PRACTICA, ASI QUE YO LES DARE LOS DATOS Y USTEDES VAN A QUEMAR CABEZA CON LOS EJERCICIOS!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
QUE ES UNA TRANSFORMACION LINEAL?
aver si tenemos 2 espacios vectoriales V y W decimos que :
T:V--->W (asi se denota) es una transformacion lineal si cumple que:
1_ T(v+u)=T(v)+T(u) con v y u en V ojo!!! v y u estan en V , pero t(v) y t(u) estan en W porque al aplicarles la transformacion dejan de estar en la preimagen y pasan a pertenecer al conjunto de la imagen
2_T(a.v)=a.T(v) con v en V y a en K (K es el cuerpo , donde usaremos los reales, como explique en los post anteriores, esto seria la multiplicacion de la transformacion por un escalar!)
SUMA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
esto es bien simple , es solo mencionar que se cumple que
(S+T)(v)=S(v)+T(v) es bien facil! , S y T son transformaciones!
algo importante!
LAS TRANSFORMACIONES LINEALES SON UNICAS!!!
PRODUCTO POR UN ESCALAR
(a.T)(v)=a.T(v) con a en K
OJO NO CONFUNDAN LA SUMA DE TRANSFORMACIONES Y EL PRODUCTO POR EL ESCALAR CON LAS PROPIEDADES QUE SATIFACEN LA DEFINICION DE TRANSFORMACION LINEAL! NOTEN LA DIFERENCIA!
COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES LINEALES!
tengo 2 transformaciones
S:U-->V
y
T:V-->W
la composicion seria
ToS:U-->W noten como se relaciona la preimagen de S con la imagen de T , porque es una composicion
en español esto seria ToS=T(S(v))
NUCLEO! ESTE ES UN TEMA IMPORTANTE EN EL CURSO
el nucleo es la transformacion que tiene como resultado el vector nulo
osea en idioma nerd
T(v)={0}
IMAGEN! ESTE ES OTRO TEMA IMPORTANTE EN EL CURSO
bueno esto es igual que en secundara cuando teniamos la imagen de una funcion , en este caso se da con las transformaciones!
osea T(v)=w , y w pertenece a la imagen y v a la preimagen
algo a destacar
si tenemos una transformacion T:V-->W entonces
N(T) (el nucleo de la transformacion) pertenece a V (la preimagen)
y Im(T) (la imagen de la trnasformacion ) pertenece a W (la iamgen {es medio bobo , pero importante})
otra cosa importante es que si tenemos un generador de V su transformado va a generar W
y si tenemos una base de V su trnasformado es base de W
TEOREMA DE LAS DIMENCIONES!
ESTE TEOREMA ES RE GROSO! LES SUGUIERO PARENDERSE LA DEMOSTRACION (YO NO LA DOY) PORQUE ESTA EN MUCHOS EXAMENES
dice asi! :
dim(V)= dim (N(T)) + dim (Im(T))
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BUENO AHORA LAS TRANSFORMACIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS!
INYECTIVA
como sabemos cuando una es inyectiva?
si cumple que :
A es linealmente independiente en V entonces su transformado es linealmente independiente en W
o si el nucleo de la transformacion es {0}
SOBREYECTIVA
si cumple que:
para todo A --g-->V su trnasformado genera a W
o si existe uno solo que genera a V y su transformado genera a W
BIYECTIVA
si para toda base de V su transformado es base de W
o si existe sola base ya alcanza
llego la parte mas importante del curso!!! aprendanselo bien porque le dan palo como loco a esto!
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
A LA MIERDA , ES TODO UN PARTO EXPLICAR ESTO , MIREN LES VOY A DEJAR UN VIDEO GROSO CON UN EJEMPLO EXPLICADO RE BIEN Y ABAJO LOS VOY A AYUDAR A ENTENDER LOS MAS QUE PUEDA
BUENO ESTE VIDEO SOLO LO MUESTRA CON MATRICES, PARA POLINOMIOS, ETC ES DISTINTO , PERO BUENO , LO QUE TIENEN QUE HACER EN GENERAL ES UNA VEZ QUE TIENEN LA TRANSFORMACION ESCRIBIR EL COHEFICIOENTE QUE MULTIPLICA A LA BASE EN FORMA DE COLUMNAS EN LA MATRIZ ASOCIADA! , AVER VOY A INTENTAR ESCRIBIR ESO FORMALMENTE
si tenemos T:V-->W
A={v1,...,vn}--b-->V
B={w1,...,wn}--b-->W
T(v1),...,T(vn) combinacion lineal de B
entonces
T(v1)= a11.w1+... am1.wm
.
.
.
T(vn)=a1n.w1+...amn.wn
entonces agarramos los coheficientes que multiplican la base y los ponemos en forma de matriz
siendo asi
B((T))A = ( a11...a1m)
( . )
( . )
( . )
(am1....amn)
BUENO AQUI TERMINA EL CURSO DE GEOMETRIA Y ALGEBRA LINEAL 1 , INTENTE EXPLICAR LO MEJOR QUE PUDE LOS TEMAS A DAR , PERO SI LES QUEDARON ALGUNAS DUDAS , EXISTEN LOS COMENTARIOS!
Y PARA TERMINAR , NO OLVIDEN VER LAS PARTES ANTERIORES DEL CURSO PARA ENTENDER TODO!
BUENO LO PROXIMO QUE HARE SERA UN INDICE CON TODOS LOS TEMAS Y UN BREBE RESUMEN DE CADA UNO DE ELLOS!
Transformaciones Lineales
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BUENO ESTA PARTE SE TRABAJARA UN POCO "A CIEGAS" PORQUE LO QUE VOY A DAR ES UNA MASA DE TEORICO Y PARA COMPRENDER BIEN EL TEMA REQUIERE MUCHA PARTE PRACTICA, ASI QUE YO LES DARE LOS DATOS Y USTEDES VAN A QUEMAR CABEZA CON LOS EJERCICIOS!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
QUE ES UNA TRANSFORMACION LINEAL?
aver si tenemos 2 espacios vectoriales V y W decimos que :
T:V--->W (asi se denota) es una transformacion lineal si cumple que:
1_ T(v+u)=T(v)+T(u) con v y u en V ojo!!! v y u estan en V , pero t(v) y t(u) estan en W porque al aplicarles la transformacion dejan de estar en la preimagen y pasan a pertenecer al conjunto de la imagen
2_T(a.v)=a.T(v) con v en V y a en K (K es el cuerpo , donde usaremos los reales, como explique en los post anteriores, esto seria la multiplicacion de la transformacion por un escalar!)
SUMA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
esto es bien simple , es solo mencionar que se cumple que
(S+T)(v)=S(v)+T(v) es bien facil! , S y T son transformaciones!
algo importante!
LAS TRANSFORMACIONES LINEALES SON UNICAS!!!
PRODUCTO POR UN ESCALAR
(a.T)(v)=a.T(v) con a en K
OJO NO CONFUNDAN LA SUMA DE TRANSFORMACIONES Y EL PRODUCTO POR EL ESCALAR CON LAS PROPIEDADES QUE SATIFACEN LA DEFINICION DE TRANSFORMACION LINEAL! NOTEN LA DIFERENCIA!
COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES LINEALES!
tengo 2 transformaciones
S:U-->V
y
T:V-->W
la composicion seria
ToS:U-->W noten como se relaciona la preimagen de S con la imagen de T , porque es una composicion
en español esto seria ToS=T(S(v))
NUCLEO! ESTE ES UN TEMA IMPORTANTE EN EL CURSO
el nucleo es la transformacion que tiene como resultado el vector nulo
osea en idioma nerd
T(v)={0}
IMAGEN! ESTE ES OTRO TEMA IMPORTANTE EN EL CURSO
bueno esto es igual que en secundara cuando teniamos la imagen de una funcion , en este caso se da con las transformaciones!
osea T(v)=w , y w pertenece a la imagen y v a la preimagen
algo a destacar
si tenemos una transformacion T:V-->W entonces
N(T) (el nucleo de la transformacion) pertenece a V (la preimagen)
y Im(T) (la imagen de la trnasformacion ) pertenece a W (la iamgen {es medio bobo , pero importante})
otra cosa importante es que si tenemos un generador de V su transformado va a generar W
y si tenemos una base de V su trnasformado es base de W
TEOREMA DE LAS DIMENCIONES!
ESTE TEOREMA ES RE GROSO! LES SUGUIERO PARENDERSE LA DEMOSTRACION (YO NO LA DOY) PORQUE ESTA EN MUCHOS EXAMENES
dice asi! :
dim(V)= dim (N(T)) + dim (Im(T))
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BUENO AHORA LAS TRANSFORMACIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS!
INYECTIVA
como sabemos cuando una es inyectiva?
si cumple que :
A es linealmente independiente en V entonces su transformado es linealmente independiente en W
o si el nucleo de la transformacion es {0}
SOBREYECTIVA
si cumple que:
para todo A --g-->V su trnasformado genera a W
o si existe uno solo que genera a V y su transformado genera a W
BIYECTIVA
si para toda base de V su transformado es base de W
o si existe sola base ya alcanza
llego la parte mas importante del curso!!! aprendanselo bien porque le dan palo como loco a esto!
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
A LA MIERDA , ES TODO UN PARTO EXPLICAR ESTO , MIREN LES VOY A DEJAR UN VIDEO GROSO CON UN EJEMPLO EXPLICADO RE BIEN Y ABAJO LOS VOY A AYUDAR A ENTENDER LOS MAS QUE PUEDA
BUENO ESTE VIDEO SOLO LO MUESTRA CON MATRICES, PARA POLINOMIOS, ETC ES DISTINTO , PERO BUENO , LO QUE TIENEN QUE HACER EN GENERAL ES UNA VEZ QUE TIENEN LA TRANSFORMACION ESCRIBIR EL COHEFICIOENTE QUE MULTIPLICA A LA BASE EN FORMA DE COLUMNAS EN LA MATRIZ ASOCIADA! , AVER VOY A INTENTAR ESCRIBIR ESO FORMALMENTE
si tenemos T:V-->W
A={v1,...,vn}--b-->V
B={w1,...,wn}--b-->W
T(v1),...,T(vn) combinacion lineal de B
entonces
T(v1)= a11.w1+... am1.wm
.
.
.
T(vn)=a1n.w1+...amn.wn
entonces agarramos los coheficientes que multiplican la base y los ponemos en forma de matriz
siendo asi
B((T))A = ( a11...a1m)
( . )
( . )
( . )
(am1....amn)
BUENO AQUI TERMINA EL CURSO DE GEOMETRIA Y ALGEBRA LINEAL 1 , INTENTE EXPLICAR LO MEJOR QUE PUDE LOS TEMAS A DAR , PERO SI LES QUEDARON ALGUNAS DUDAS , EXISTEN LOS COMENTARIOS!
Y PARA TERMINAR , NO OLVIDEN VER LAS PARTES ANTERIORES DEL CURSO PARA ENTENDER TODO!
BUENO LO PROXIMO QUE HARE SERA UN INDICE CON TODOS LOS TEMAS Y UN BREBE RESUMEN DE CADA UNO DE ELLOS!