Wtf. 0.99.. = 1 ?

0,9 periódico 0,9 periódico (0,999…, donde el dígito 9 se repite indefinidamente), denotado como, ó 0,(9), es un número real. Paradójicamente este número es exactamente igual al número entero uno. Varias pruebas de esta identidad con distinto nivel de formalidad han sido formuladas dependiendo del énfasis que se quiera hacer, tomando en cuenta por ejemplo los conocimientos previos y la audiencia a la que se expone el tema. La igualdad ha sido aceptada por los matemáticos hace ya bastante tiempo y aparece de manera rutinaria en libros de texto. En décadas recientes, investigadores en el área de la enseñanza de las matemáticas han estudiado cómo los estudiantes perciben esta ecuación. Una gran cantidad de ellos rechaza la ecuación, principalmente debido a la errónea impresión de que cada fracción decimal describe un único número real. Argumentos no formales Multiplicación de 1/3 * Partimos de que 1/3 = 0,333… * Multiplicamos por 3 ambos miembros de la igualdad: 3 × (1/3) = 3 × 0,333…, que debería dar 0,999… * Vemos que 0,999… debe ser forzosamente 1, puesto que (1 / 3) × 3 = 1. 0.333… = 1⁄3 3 × 0.333… = 3 × 1⁄3 0.999… = 1 Con x = 0,999… * Suponemos que x = 0,999… [1] * Multiplicamos por 10 los dos números: 10x = 9,999… [2] * Restamos las dos expresiones en los dos miembros: 10 x - x = 9,999… - 0,999… [2] – [1] * Obtenemos que 9x = 9, es decir, x = 1, como queríamos demostrar. x= 0.999… 10x= 9.999… 10x − x= 9.999… − 0.999… 9x= 9 x= 1 Con fórmula matemática. Si x es un número entero entre 0 y 9, podemos considerar la siguiente fórmula: * Tomamos el valor numérico de "x" como "9" * Llegamos a la conclusión de que: 0.xxx… = x⁄9 0.999… = 9⁄9 0.999 = 1 No existe ningún real entre 0,999… y 1 Un argumento más corto se deduce del siguiente hecho: Si dos números reales son diferentes, entonces existe al menos un tercero entre los dos, diferente de éstos. Este tercer número puede ser, por ejemplo, la media aritmética de los dos. Ahora bien, es imposible intercalar ningún número entre 0,999… y 1, y por tanto, estos deben ser iguales. Demostración formal Sea q un número real cualquiera y consideremos la suma multiplicando la suma por el número q obtenemos así, de modo que Restando 1 + Sn en ambos lados de la ecuación, obtenemos Si q es distinto de uno, entonces Definición de 0,999… Podemos escribir como una serie geométrica (de primer término a = 0,9 y razón q = 1/10): Límite de la serie Por lo que se ha dicho más arriba, Al tomar el límite, tenemos Así, finalmente, como se quería demostrar. Generalización La prueba de que en base 10 es exactamente 1, se puede generalizar para cualquier base no necesariamente 10. En base n + 1 el número es exactamente 1. Se puede verificar que.. Entonces Es decir que en binario , en octal , y en sistema decimal Para algunos(como yo) , los argumentos no formales nos alcanza.. para los que lo quieren mejor explicado, ahi esta FUENTE Este post lo hice yo cuando era novato, lo pongo aca, para que lo vean los que todavia no lo vieron, ya que es bastánte interesante.