Ciencias Bizarras | El teorema del mono infinito

Apropiado dijo:

--- Barra Oficial de @Apropiado, con aroma a limon ---

Muchos de Uds habrán visto en un episodio de Los Simpsons (El episodio es "Ultima Salida a Springfield" en que Mr Burns le muestra a Homero una habitación donde hay mil monos con mil maquinas de escribir, que según Mr Burns "Escriben la novela más grande".



En este gag, se hace una pequeña demostración del Teorema del Mono Infinito, que dice así:

El teorema del mono infinito afirma que un mono pulsando teclas al azar sobre un teclado durante un periodo de tiempo infinito casi seguramente podrá escribir finalmente cualquier libro que se halle en la Biblioteca Nacional de Francia. En una nueva exposición del mismo teorema, más popular entre los angloparlantes, los monos podrían escribir las obras de William Shakespeare. En este contexto, el término casi seguramente es un término matemático con un sentido preciso y el "mono" no es en realidad un mono, sino que se trata de una metáfora de la creación de una secuencia aleatoria de letras ad infinitum.

Ahora una explicación más simple: Supongamos que tenemos un mono frente a una maquina de escribir, y los ponemos a teclear al azar.

Asimismo, supongamos que la primera cadena de texto es "HOLA" y que la maquina de escribir tiene 48 teclas.

Como la probabilidad de teclear una tecla correctamente es de 1/48, y la probabilidad de que el mono falle al teclear solo una tecla es de X=1-(1/48), al escribir la cadena "HOLA" que son sólo 4 caracteres, las probabilidades de que escriba correctamente son 1/(48^4), y las de fallar, x = 1 - (1/(48^4)) Aca podria verse que si ponemos al mono en una situacion donde tenga que escribir una cadena infinita, las probabilidades de fallar son del 100%.

Ahora, si tenemos "n" monos, las probabilidadaes de que los primeros "n" monos no escriban nuestra cadena "HOLA" en los primeros bloques de 4 caracteres es de x = (1 - (1/(48^4)))^n

Si aumentamos los monos al infinito, las probabilidades de fallar tienden a Cero. y las de escribir correctamente tienden a 1 (que es lo que nos interesa.)

De hecho, incluso yendo a infinito puede ser excesivo. Si el alfabeto tiene un tamaño a, entonces puede ser demostrado que la probabilidad de que una de las primeros a^n ocurra es al menos 1/2. Estonces, 20a^n intentos podrían ser suficientes para escribir el texto dado con una probailidad muy próxima a 1. El problema incluso hace paralelismo bien: k monos pueden escribir el texto k veces más rápido. Para un n pequeño no es demasiado malo. Por ejemplo, mil monos escribiendo letras al azar a un ritmo de 100 caracteres por minuto podrían probablemente escribir la palabra «HOLA» en unas seis semanas.

Ignorando puntuación, espaciamiento y mayúsculas/minúsculas y asumiendo una distribución uniforme de letras, un mono tiene una probabilidad entre 26 de escribir correctamente la primera letra de Hamlet. La probabilidad de que escriba bien las dos primeras letras es 1 entre 676 (26 veces 26). Cuando 20 letras hayan sido escritas, las probabilidades de que hayan sido las correctas se reducen a una entre 26^20=19.928.148.895.209.409.152.340.197.376, aproximadamente la misma probabilidad de que a una misma persona le toquen 4 loterías consecutivas. En caso del texto completo de Hamlet, la probabilidad es tan abismalmente pequeña que difícilmente puede ser concebida en términos humanos. El texto de Hamlet, eliminando cualquier puntuación, contiene unas 130.000 letras.

El mero hecho de que exista una oportunidad, sin embargo, es la clave del teorema de los infinitos monos, dado que la ley Cero-Uno de Kolmogórov dice que dada una serie infinita de sucesos independientes debe tener una probabilidad de 0 o 1. Dado que hemos demostrado arriba que la probabilidad no es 0, debe ser entonces 1.

Apropiado dijo:

--- Barra Oficial de @Apropiado, con aroma a limon ---

En 2003, científicos en Paignton Zoo y la Universidad de Plymouth, en Devon, Inglaterra, reportaron que dejaron un teclado de computadora en la jaula de seis macacos durante un mes. No sólo los monos no hicieron más que producir cinco páginas consistentes en una larga serie de la letra S, sino que comenzaron a atacar el teclado con una piedra y siguieron orinando y defecando sobre él.

Apropiado dijo:

--- Barra Oficial de @Apropiado, con aroma a limon ---

Este teorema es una demostracion de que algo que si en el corto plazo no es posible, en el infinito plazo, sí lo es, aunque suene increíble.