Vale aclarar que no voy a ser 100% formal porque quiero que aquellos que necesiten aprenderlo lo puedan hacer.
El de poder factorear un polinomio de grado mayor a 2 es muchas veces visto como un trabajo muy duro y largo. Ahora creo poder ayudar con algo que les servirá a todos aquellos que le pidan esto en la escuela/facultad. Acá intentare explicarlo de manera sencilla para que lo entiendan bien.
El teorema de Gauss es utilizado, justamente, para poder factorear o encontrar las raíces de una expresión algebraica grado mayor a dos.
Vamos a tener en cuenta un polinomio para la explicación. Lo primero que tenes que ver es si es un polinomio Monico! Como es eso?
Así! ----> x³ + 2x² - 5x - 6 Esto quiere decir que el coeficiente principal (el número que multiplica a la "x" de mayor grado) sea el número uno (1.x³). Cuando no aparece un número acompañando a la “x” quiere decir que es el número "uno" el coeficiente principal.
Bien, si se topan con un polinomio monico es todo más fácil.
Conocimientos previos.
Saber encontrar los divisores de un número
Radicación
Ruffini
Formula resolvente
Teorema del resto
Bueno, empezamos!
Acá tenemos nuestro polinomio P(x) = x³ + 2x² - 5x - 6.
Destaquemos ------> a = 1, b = 2, c = - 5 y d = - 6
Ahora tenemos que saber que para encontrar las raíces debemos tener los divisores de “d” (termino independiente) y “a” (coeficiente principal) para luego tener posibles raíces que se hallaran de la siguiente manera.
d/a = {Posibles divisores}
Tenemos que dividir cada posible divisor del término independiente con un divisor del coeficiente principal. Así con todos los posibles divisores.
Observación; Por ser un polinomio monico ocurre que las posibles raíces son los divisores de “d”. Por esto decía que todo se hacía más fácil.
Ahora con todas las posibles raíces pasamos a usar el teorema del resto para verificar si realmente es una raíz la posible raíz que estudiamos.
Como nos damos cuenta que es una raíz del polinomio? Y… porque tiene que tener como resultado cero!
Cuando encontramos una raíz usamos ruffini para factorizar y lo hacemos de esta forma:
Si es de grado superior a 3 podemos usar de nuevo el teorema de gauss las veces que necesitemos.
Bueno, cuando uno de los factores es de grado dos usamos lo que se llama formula resolvente.
Para terminar escribimos la expresión factorizada. SIN OLVIDARNOS DE QUIEN ES “A” (coeficiente principal) Es un error muy común en las pruebas… no poner “a” en la expresión factorizada.
P(x) = 1.( x + 1 ).( x – 2 ).( x + 3 )
Espero que les sirva! Abrazos _T_O_N_Y_ (Mi primer post)