Las 7 Maravillas de las Matemáticas [Belleza Matemática]

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Las 7 Maravillas de las Matemáticas

Este es mi primer post y bla, bla bla...



Las matemáticas son algo increíble. Con números se puede demostrar cualquier cosa. Bien decía Gauss que la Matemática es la reina de las ciencias, ya que de todos los campos del conocimiento, es la única que nunca cambia, establecen leyes universales que superan el paso del tiempo y el lugar del universo. el poseen la verdad absoluta que en ocasiones llega a ser abismal (entiéndase este punto el hecho de que los más grandes matemáticos de la historia estén locos).
No obstante, detrás de los números y entes abstractos, hay toda una Filosofía y una indudable belleza. Una ecuación puede ser tan hermosa como una sinfonía. En palabras de Russell: "La matemática posee no sólo la verdad, sino belleza suprema; una belleza fría y austera, como una escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin la hermosura de las pinturas o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, puede ser encontrado tanto en matemática como en la poesía."

A continuación enumero las 7 Maravillas de Las Matemáticas que, por su simplicidad ó complejidad, han revolucionado el pensamiento y han transformado al mundo:

1. Teorema de Pitágoras.
Quizás el teorema matemático más famoso y uno de los más antiguos, establece la relación en un triángulo rectángulo que la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de de las longitudes de los 2 catetos.

La importancia de este Teorema radica no sólo en sus múltiples usos y numerosas aplicaciones, sino en la extrapolación de esta a otros teoremas, como la Terna pitagórica, longitudes inconmensurables, Trigonometría, espacios Euclídeos, sólo por mencionar unos cuantos.

Por añadir algo, en un episodio de Los Simpson, Homero, después de encontrar un par de gafas en un baño en la Planta Nuclear de Springfield, se los pone y cita la versión mutilada del Espantapájaros (de Mago de Öz) de la fórmula. Un hombre sentado en un inodoro cerca entonces grita "¡Eso es un triángulo rectángulo, idiota!" (El comentario sobre las raíces cuadradas no corregidos.)


2. Fractales
La forma geométrica más bella y estudiada por los matemáticos es el fractal. Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Así mismo es autosimilar, o sea que su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura. El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado.




Desde el siglo XIX aparecieron los primeros ejemplos de fractales pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. Con el posterior avance del análisis complejo se pudieron elaborar estructuras fractales en base a algoritmos iterativos sin la ayuda de gráficos por ordenador moderno, sin embargo, carecían de los medios para visualizar la belleza de muchos de los objetos que habían descubierto. Finalmente con el desarrollo de los ordenadores, Mandelbrot popularizó los fractales como una forma de "arte matemático".

El Conjunto de Mandelbrot

Los fractales se han utilizado para describir muchos objetos irregulares del mundo real. Otras aplicaciones de los fractales incluyen:

-Paisaje fractal o la complejidad Litoral
-Generación de música nueva (¿música fractal?)
-Señal y compresión de imágenes
-Creación de ampliaciones fotográficas digitales
-sismología
-Fractal en mecánica de suelos
-Informática y diseño de videojuegos
-Antenas fractales - antenas de pequeño tamaño con formas fractales
-Sistemas dinámicos y la teoría del caos
-Y sobre todo... el Arte Fractal



3. Número Áureo



Se trata de un número algebraico que posee numerosas propiedades y aplicaciones interesantes. En términos sencillos, se define como la razón entre A/B = φ = 1.6180339887498948482045868343656381177203091...

Sin mencionar las propiedades matemáticas que tiene, lo más fascinante de este número es su aplicación en múltiples aspectos de la Naturaleza y el hombre. Por mencionar algunos, tenemos que φ es igual a:

En la Naturaleza.
• La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
• La distribución de las hojas en un tallo. Guarda relación con la sucesión de Fibonacci.
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
En el ser humano:
•La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
•La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
•La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
•La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
•La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
•Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
•Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
En el arte:
•En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.
•En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
•El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
•Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
•En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).


4. π
Uno de los números irracionales más importantes de las matemáticas, con numerosas aplicaciones en física, química, ingenierías, etc. π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

La historia de esta constante se remonta hace 2000 años a.C. La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia, desde el antiguo Egipto, Mesopotamia, inclusive se puede encontrar una referencia indirecta del valor aproximado de π en un versículo de la Biblia.

Ya en la época moderna, las computadoras se encargaron de calcular el número π con la mayor cantidad de cifras decimales posibles. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords, obteniendo 2.037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían los records anteriores llegando a establecer cifras verdaderamente enormes, llegando en 2009 a 2.699.999.990.000 por el ordenador Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB.

Algunas de sus aplicaciones incluyen áreas que carecen de conexión directa con la geometría euclidea, tales como la Teoría de Números, la Mecánica Cuántica y la Teoría de la Relatividad. Una de las preguntas más interesantes respecto a π es ¿Porqué aparece π en éstos lugares sin una relación aparente? Nadie lo sabe aún, pero aunque no podamos explicar a π del todo, aparece en incontables áreas del conocimiento y la vida cotidiana.




Cultura Popular
•En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi (Fe en el caos) sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
•Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
•En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.
•En Los Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.
•En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
•La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.

Curiosidades
•El 22 de julio es el día internacional dedicado a la aproximación de π.
•En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
•El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
•Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
•En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es ∗31416.


5. Identidad de Euler
Esta identidad es una abstracción de la formula de Euler, importante por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:

donde:
π (pi) es el número más importante de la geometría
e (número de Euler o constante de Napier) es el número más importante del análisis matemático
i (imaginario) es el número más importante del álgebra
0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Richard Feyman la llama la fórmula más importante en las matemáticas. También considerada por muchos como una verdadera obra de arte de las matemáticas, “el más bello teorema de las matemáticas” así como “la más grande ecuación de todos los tiempos”; todo esto por su simplicidad, a la vez profundidad en el análisis de sus propiedades. Algunos matemáticos ven la belleza de las matemáticas en resultados que establecen conexiones entre dos áreas de las matemáticas que parecen distintas y sin relación alguna a primera vista. Estos resultados suelen ser llamados profundos.

6. Cálculo Infinitesimal
Una muy importante rama de las matemáticas y los campos métricos y cuantitativos en general. El cálculo incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas, y constituye una gran parte de la educación de las universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio.



Principios
Límites e infinitesimales. El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración. Capturan el comportamiento a pequeña escala, como los infinitesimales, pero usan el sistema ordinario de los números reales. En este contexto, el cálculo es una colección de técnicas usadas para la manipulación de ciertos límites. Los infinitesimales son reemplazados por números muy pequeños y el comportamiento infinitamente pequeño de la función es encontrado mediante el comportamiento límite para números cada vez más pequeños.

Cálculo diferencial. Dada una función y un punto en su dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña-escala de la función cerca del punto. En términos sencillos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado o sea la velocidad de crecimiento o variación; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

Cálculo integral. Es el estudio de las definiciones, propiedades, y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida. El proceso de encontrar el valor de una integral es llamado integración.
La integral indefinida es la antiderivada, es decir, la operación inversa de la derivada. La función F es una integral indefinida de la función f cuando f es una derivada de F. (El uso de mayúsculas y minúsculas para distinguir entre la función y su integral indefinida es común en el cálculo).
La integral definida es un algoritmo que transforma funciones en números, los cuales dan el área entre una curva de un gráfico y el eje-x. La definición técnica de la integral definida es el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann.

El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Es por esto que la relación entre ambos conceptos (Integral y diferencia) lograda por Newton y Leibniz son considerados como máximos logros del desarrollo del conocimiento. El cálculo se aplica en buena parte del conocimiento, algunos de los cuáles no tienen nada que ver con matemáticas, como la música.

7. Los problemas no resueltos de la Matemática
Quizá este punto sea contradictorio en el hecho de considerarlo una maravilla siendo que son problemas que han torturado a los matemáticos por siglos. Sin embargo, el solucionar tan sólo uno de los tantos que se han formulado supone el secreto de la "inmortalidad", al pasar a la historia como el mexicano López que demostró tal o cual cosa. Se han realizado numerosas listas de problemas que aún están esperando solución, no obstante, existen 2 que han tenido relevancia significativa: Los problemas de Hilbert y los Problemas del Milenio. Como dato adicional, el único problema que ha estado en las 2 listas ha sido la Hipótesis de Riemann, por lo cual ha sido considerado muchas veces como el problema más difícil de la historia de las matemáticas.

Problemas de Hilbert
Los problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemáticos reunido por David Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. Los problemas estaban todos por resolver en aquel momento, y varios resultaron ser muy influyentes en la matemática del siglo XX.

De los problemas de Hilbert claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 tienen una solución aceptada por consenso. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21 y 22 tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema.
Esto deja sin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, ambos dentro de la teoría de números. En esta clasificación los 4, 6, 16 y 23 son demasiado vagos como para que algún día se les pueda declarar resueltos. El 24 retirado también caería en esta clase.

Problemas del milenio
Son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno. Al día de hoy únicamente uno de estos problemas ha sido resuelto (la conjetura de Poincaré, por el ruso Grigori Perelmán), por lo cual aún seis de ellos permanecen abiertos.

•P versus NP
Ésta plantea que existen problemas de clase P, es decir, problemas de un tamaño (que varía dependiendo de la cantidad de factores, polinomios o combinaciones) y que se resuelven en un tiempo determinado.
Al aumentar las variables, crece el tiempo que el algoritmo demora en llegar a una solución. En un punto, el tiempo crece de manera exponencial, y el problema entra en la categoría NP.
Podríamos usar un algoritmo para descifrar —por ejemplo— una contraseña de quince caracteres (problema NP), pero tardaría años en llegar a la respuesta.
“Puedes tener un algoritmo súper bueno para descifrar la criptología de toda la NASA, pero esa información estará obsoleta para cuando llegue a una solución, y por lo tanto no sirve”, explicó Jaime Cisternas, matemático de la Universidad de los Andes.
Si alguien tiene una fórmula para hacer que los problemas NP sean (demoren) lo mismo que los P, puede ir a cobrar un millón de dólares.

•La Conjetura de Hodge
Para categorizar la forma de los objetos más complicados (sin una forma consensuada), los matemáticos llegaron a la útil solución de pegar bloques geométricos (de cualquier tamaño o tipo) sobre toda la superficie de ellos.
Lamentablemente, esto no sirve para todas las formas, ya que hay algunos espacios en los que habría que pegar figuras que no guardan relación alguna con la geometría.

La conjetura de Hodge explica que esos espacios o “variedades algebraicas proyectivas”, son realmente combinaciones de piezas geométricas llamadas “ciclos algebraicos”. Pero aún no se pueden definir matemáticamente.

•Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.

•Las ecuaciones de Navier-Stokes
El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.
Las ecuaciones pueden determinar cómo se mueven en una dimensión (en un tubo) o en dos dimensiones (entre dos placas). El problema se presenta al intentar averiguar la turbulencia de los líquidos en un plano de tres dimensiones (una ola). En ese caso, las ecuaciones arrojan resultados absurdos (velocidades infinitas).

•La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Según los matemáticos, es uno de los teoremas más complejos. Trata un tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los números racionales.
El teorema plantea que hay una forma fácil de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

Según el matemático de la Universidad Andrés Bello, Cristián González, mientras no se resuelva este teorema, gran parte de la matemática actual se encuentra en “modo de pausa” y es por esto que el Clay Institute ofrece el premio por ésta.

•La hipótesis de Riemann
La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.







Equivalencia entre masa y energía
La fórmula más famosa de todas, de acuerdo a la Teoría de Relatividad, Albert Einstein afirma que la cantidad de energía es igual a la masa, aunque esté en reposo, por la velocidad de la luz al cuadrado. Esta ecuación dentro de la Teoría de la Relatividad, significó una verdadera revolución científica, con la que el tiempo absoluto de Newton quedó relegado y conceptos como la invariancia en la velocidad de la luz, la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la equivalencia entre masa y energía fueron introducidos.

En 1905 un desconocido físico alemán publicó un artículo que cambió radicalmente la percepción del espacio y el tiempo que se tenía en ese entonces. En su Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Albert Einstein revolucionó al mundo al postular lo que ahora conocemos como Teoría de la Relatividad Especial. Esta teoría se basaba en el Principio de relatividad y en la constancia de la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia inercial. De ello Einstein dedujo las ecuaciones de Lorentz. También reescribió las relaciones del movimiento y de la energía cinética para que éstas también se mantuvieran invariantes.

La teoría permitió establecer la equivalencia entre masa y energía y una nueva definición del espacio-tiempo. De ella se derivaron predicciones y surgieron curiosidades. Como ejemplos, un observador atribuye a un cuerpo en movimiento una longitud más corta que la que tiene el cuerpo en reposo y la duración de los eventos que afecten al cuerpo en movimiento son más largos con respecto al mismo evento medido por un observador en el sistema de referencia del cuerpo en reposo.
Algunas de las aplicaciones de esta ecuación, están desde los viajes en el espacio, los viajes en el tiempo, la desafortunada bomba atómica y la Física en general.

Fórmulas de Ramanujan
Srinivāsa Rāmānujan (1887-1920) fue un matemático hindú muy enigmático. De familia humilde, trabajó principalmente en la teoría analítica de los números y se volvió famoso por sus numerosas fórmulas sumatorias referidas a las constantes tales como π y el número e, los números primos y numerosos trabajos en colaboración con los matemáticos británicos Hardy y Littlewood. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años después.

Fascinado por el número π, desarrolló potentes algoritmos para calcularlo, entre los cuales destaca:


Autodidacta, sin una educación formal ni acceso a trabajos científicos, extrapoló teorías que pasmaron a los matemáticos más célebres por sus trabajos sobre series infinitas y fracciones continuas:




Ésta última se trata de una especie de obra de arte matemática donde se conecta una serie matemática infinita y una fracción continua para aportar así una relación entre dos célebres constantes de matemáticas.

Parte de los Problemas del Milenio fueron tomados del post
http://taringa.net/posts/info/3748563/Problemas-matematicos-sin-resolver___a-un-millon-cada-uno.html

"RECUERDA QUE EL PLACER Y LA BELLEZA EN LAS MATEMÁTICAS NO ESTÁ EN LOS RESULTADOS, SINO EN EL ESFUERZO INVERTIDO PARA ENCONTRARLOS"