Este post lo hice por mi gran gusto sobre las matemáticas, lo lindas que son y lo aburrido que estaba..
las cosas las saque de diferentes libros como.. "¿Matemáticas estas ahí?" de Adrian Paenza y "Música y Matemáticas. De Schoenberg a Xenakis" por Iñigo Ibaibarriaga. (entre otros)
Si no te gustan las matemáticas, no te vayas.. mira el post que seguro algo te va a gustar
ACLARACIÓN: este post ya lo habia posteado, pero lo queria postear de nuevo en esta categoría.
Recibí muchos comentarios y mensajes sobre esto... asi que aqui les aclaro algunas cosas y les dejo una demostracion que se me ocurrio puede aclarar mucho.
a) 0,9999... dice que hay infinitos numeros 9 despues de la coma (o sea 0,9 periódico)
b) lo que se sugiere es que el numero 1 tiene dos formas distintas de escribirse pero sin dudas es un solo numero.
una demostración sencilla es:
1= 1/3 + 1/3 + 1/3= 0,333… + 0,333… +0,333… = 0,999…
A partir del hecho: Si dos números reales son diferentes, entonces existe al menos un tercero entre los dos, diferente de éstos. Si 0,999… y 1 fueran diferentes, sería posible encontrar un número entre ellos, por ejemplo, la media aritmética de los dos. Ahora bien, es imposible intercalar ningún número entre 0,999… y 1, y por tanto deben ser iguales.
¡No olviden que hay infinitos numeros nueve despues de la coma!
si aún no queda claro y saben algo de matemática, aquí un link de wikipedia donde lo explica bien, con demostración formal:
demostración
[color=green]La matemática ofrece (también) muchas curiosidades, entre las que se encuentran ciertas simetrías y patrones de extraña belleza.
¿Está todo "ordenado" y sólo lo descubrimos? ¿O lo inventamos
nosotros?
Aquí van algunos ejemplos.
Los matemáticos y las vacas
En un tren viajaban tres personas: un economista, un lógico y
un matemático.
Recién habían cruzado la frontera que separa a, digamos, Francia
y España. En ese momento, desde una de las ventanas del tren, ven
una vaca marrón. La vaca está comiendo pasto en forma paralela al
tren. El economista dice: "Miren… las vacas en España son marrones".
El lógico replica: "No. Las vacas en España tienen al menos un
lado que es marrón". El matemático interviene confiado y dice con
autoridad: "No. Hay al menos una vaca en España, uno de cuyos lados
parece ser marrón".
Más allá de que esto parezca una broma, tiene un ángulo interesante
para analizar. En rigor, en función de los datos que ellos tenían,
de las tres conclusiones que sacaron, la única que se puede sostener
es la del matemático. Las otras dos parecen ciertas también, claro,
pero se apoyan en que nosotros sabemos algunas cosas más sobre las
vacas, y esa información la querríamos usar si estuviéramos en el tren.
¿
Supongamos que uno tiene dos números cualesquiera: a y b.
Supongamos, además, que
a = b
Síganme con este razonamiento. Si multiplico a ambos miembros
por a, se tiene
a^2 = ab
Sumemos ahora (a^2 – 2ab) en ambos miembros.
Resulta entonces la siguiente igualdad
a^2 + (a^2 - 2ab) = ab + (a^2 - 2ab)
O sea, agrupando:
2(a^2) – 2ab = a^2 – ab
Sacando factor común en cada miembro,
2a (a-b) = a (a-b)
Luego, simplificando en ambos lados por (a-b) se tiene:
2a = a.
Ahora, simplificamos la a de ambos lados, y se tiene:
2 = 1
¿Dónde está el error? Es que tiene que haber alguno, ¿no?
Quizá ustedes ya se dieron cuenta. Quizá todavía no. Les sugiero
que lean detenidamente cada paso y traten de descubrir solos
dónde está el error.
[/color]
Esto lo vi en un post... y saltaron varios comentarios al respecto (sobre si las cazadores de mitos tenian razon o no)
aca la explicacion matemática
Supongamos que uno tuviera una hoja de papel bien finita,
como las que se usan habitualmente para imprimir la Biblia. Es
más, en algunas partes del mundo este papel se conoce como el
“papel de Biblia”. En realidad, parece un papel “de seda”.
Para fijar las ideas, digamos que tiene un grosor de 1 milésima
de centímetro.
O sea, 10-3 cm = 0,001 cm
Supongamos también que uno tiene una hoja grande de ese
papel, como si fuera la hoja de un diario.
Ahora, empecemos a doblarlo por la mitad.
¿Cuántas veces creen ustedes que podrían doblarlo? Y tengo
otra pregunta: si lo pudieran doblar y doblar tantas veces como
quisieran, digamos unas treinta veces, ¿cuál creen que sería
el grosor del papel que tendrían en la mano entonces?
Luego de doblarlo una vez,
tendríamos un papel de un grosor de 2 milésimas de centímetro.
Si lo dobláramos una vez más, sería de 4 milésimas de centímetro.
Cada doblez que hacemos a la hoja, se duplica el grosor.
Y si seguimos doblándolo una y otra vez (siempre por la mitad) tendríamos la siguiente situación, después de diez dobleces:
210 (esto significa multiplicar el número 2 diez veces por sí
mismo) = 1.024 milésimas de cm = 1 cm aproximadamente.
¿Qué dice esto? Que si uno doblara el papel 10 (diez) veces,
obtendríamos un grosor de un poco más de un centímetro.
Supongamos que seguimos doblando el papel, siempre por la mitad.
¿Qué pasaría entonces?
Si lo dobláramos 17 veces, tendríamos un grosor de
217 = 131.072 milésimas de cm = un poco más de un metro.
Si pudiéramos doblarlo 27 veces, se tendría:
227 = 134.217.728 milésimas de cm, o sea un poco más de
¡1.342 metros! O sea, ¡casi un kilómetro y medio!
Vale la pena detenerse un instante: doblando un papel, aun tan
finito como el papel de Biblia, sólo veintisiete veces, tendríamos
un papel que casi alcanzaría el kilómetro y medio de espesor.
paradoja de Bertrand Russell
Pongámonos primero de acuerdo con lo que quiere decir
Dios. Por definición, la existencia de Dios está igualada con la
existencia de un ser todopoderoso. En la medida en que nosotros
podamos probar que nada ni nadie puede ser omnipotente, entonces,
nadie podrá adjudicarse el “ser Dios”.
Vamos a probar esto “por el absurdo”; o sea, vamos a suponer
que el resultado es cierto y eso nos va a llevar a una contradicción.
Supongamos que Dios existe. Entonces, como hemos dicho,
en tanto que Dios, debe ser todopoderoso. Lo que vamos a hacer es probar que no puede haber nadie todopoderoso. O
lo que es lo mismo: no puede haber nadie que tenga todos los
poderes.
Y hacemos así: si existiera alguien que tuviera todos los poderes,
debería tener el poder de hacer piedras muy grandes. No
le puede faltar este poder, porque si no, ya demostraría que no es
todopoderoso. Entonces, concluimos que tiene que tener el poder
de hacer piedras muy grandes. No sólo tiene que tener el
poder de hacer piedras muy grandes, sino que tiene que ser capaz
de hacer piedras que él no pueda mover… no le puede faltar
este poder (ni ningún otro si vamos al caso). Luego, tiene
que ser capaz de hacer piedras y que esas piedras sean muy grandes.
Tan grandes, que eventualmente él no las pueda mover.
Ésta es la contradicción, porque si hay piedras que él no pueda
mover, eso significa que le falta un poder. Y si tales piedras no
las puede hacer, eso significa que le falta ese poder. En definitiva,
cualquiera que pretenda ser todopoderoso adolecerá de un
problema: o bien le falta el poder de hacer piedras tan grandes
que él no pueda mover, o bien existen piedras que él no puede
mover. De una u otra forma, no puede haber nadie todopoderoso
(y eso era lo que queríamos probar).
Si pudiéramos en este momento encoger la población de la
Tierra hasta llevarla al tamaño de una villa de exactamente cien
personas, manteniendo todas las proporciones humanas existentes
en la actualidad, el resultado sería el siguiente:
• Habría 57 asiáticos, 21 europeos, 14 americanos
y 8 africanos
• 70 serían no blancos; 30 blancos
• 70 serían no cristianos; 30 cristianos
• 50% de la riqueza de todo el planeta estaría en manos
de seis personas. Los seis serían ciudadanos de los
Estados Unidos
• 70 serían analfabetos
• 50 sufrirían de malnutrición
• 80 habitarían viviendas de construcción precaria
• Sólo uno tendría educación de nivel universitario.
¿No es cierto que creíamos que la Humanidad había alcanzado
un mayor nivel de desarrollo?
Estos datos corresponden a una publicación de las Naciones
Unidas del 10 de agosto de 1996. Si bien han pasado casi diez
años, no dejan de ser datos sorprendentes.
Supongamos que tenemos seis monos en una pieza. Del cielo
raso cuelga un racimo de bananas. Justo debajo de él hay una
escalera (como la de un pintor o un carpintero). No hace falta
que pase mucho tiempo para que uno de los monos suba las escaleras
hacia las bananas.
Y ahí comienza el experimento: en el mismo momento en
que toca la escalera, todos los monos son rociados con agua helada.
Naturalmente, eso detiene al mono. Luego de un rato, el
mismo mono o alguno de los otros hace otro intento con el mismo
resultado: todos los monos son rociados con el agua helada
a poco que uno de ellos toque la escalera. Cuando este proceso
se repite un par de veces más, los monos ya están advertidos.
Ni bien alguno de ellos quiere intentarlo, los otros tratan de evitarlo,
y terminan a los golpes si es necesario.
Una vez que llegamos a este estadio, retiramos uno de los monos
de la pieza y lo sustituimos por uno nuevo (que obviamente
no participó del experimento hasta aquí). El nuevo mono ve las bananas
e inmediatamente trata de subir por las escaleras. Para su horror,
todos los otros monos lo atacan. Y obviamente se lo impiden.
Luego de un par de intentos más, el nuevo mono ya aprendió: si intenta
subir por las escaleras lo van a golpear sin piedad.
Luego, se repite el procedimiento: se retira un segundo mono
y se incluye uno nuevo otra vez. El recién llegado va hacia las
escaleras y el proceso se repite: ni bien la toca (la escalera), es
atacado masivamente. No sólo eso: el mono que había entrado
justo antes que él (¡que nunca había experimentado el agua helada!)
participaba del episodio de violencia con gran entusiasmo.
Un tercer mono es reemplazado y ni bien intenta subir las escaleras,
los otros cinco lo golpean. Con todo, dos de los monos
que lo golpean no tienen ni idea de por qué uno no puede subir
las escaleras. Se reemplaza un cuarto mono, luego el quinto
y por último, el sexto, que a esta altura es el único que quedaba
del grupo original. Al sacar a éste ya no queda ninguno que
haya experimentado el episodio del agua helada. Sin embargo,
una vez que el último lo intenta un par de veces, y es golpeado
furiosamente por los otros cinco, ahora queda establecida la regla:
no se puede subir por las escaleras. Quien lo hace se expone
a una represión brutal. Sólo que ahora ninguno de los seis tiene
argumentos para sostener tal barbarie.
Cualquier similitud con la realidad de los humanos no es pura
coincidencia ni casualidad. Es que así somos: como monos
Esto lo leí en un libro matemático pero no recuerdo cual, asi que lo escribí yo..
Muchos de los que juegan a menudo sabran este "truco". La cosa es simple, hay que jugar a "la chance" (rojo o negro, par o impar) y siempre doblar la apuesta de lo que perdieron, es decir: supongamos que apuesto 1 ficha al rojo y sale negro, en la proxima apostaré dos fichas (si gano, recupero la que perdi y gano una mas) si pierdo otra vez, apuesto 4 fichas. Si gano recupero las tres que perdi y gano una mas (gano 4), si pierdo apuesto 8 fichas.. y así hasta ganar (si tenes suficientes fichas y algo de suerte, en algun momento ganas)
El ejemplo es con la ruleta pero puede aplicarse a otros juegos..
[b]
A los que les gusta la música (sobre todo tocar algún instrumento y saber algo sobre partituras y lenguaje musical) esto les gustará. Es un tema sabido.. preo no para todos
Introducción histórica
Las matemáticas nacen de la necesidad de registrar el paso del tiempo y consistieron,
en un principio, solamente en números y conteos. Existía la necesidad de
llevar un registro de las cosechas del ganado y de las operaciones comerciales. Así
se desarrollaron signos y palabras para los números.
La Música nace de la necesidad de protegerse de ciertos fenómenos naturales, de alejar los espíritus malignos, de atraer la ayuda de los dioses, de honrarlos y festejar sus fiestas y celebrar el cambio de las estaciones.
Los Pitagóricos
Se dice que Pitágoras acuñó la palabra matemáticas, que significa "lo que es aprendido". Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. La música griega existía mucho antes, era esencialmente melódica más que armónica (combinacion de sonidos diferentes, pero acordes entre si) y era microtonal; su escala contenía muchos más sonidos que la escala de doce sonidos del mundo occidental (do re mi fa sol la si.. con sus respectivos sostenidos).
Fue Pitágoras quien descubrió que existe una relación numérica entre tonos que sonaban "armónicos" y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y de placer, podía ser medida por medio de razones de números enteros.
Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende el longitud, grosor y tensión de la misma (guitarra, bajo, violin, etc. hace tu experimento con un elastico de los que se le salen a la ropa). Lo que Pitágoras descubrió es que al dividir una cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído (si tocas la guitarra, te daras cuenta que esto no es ni mas ni menos que los famosos armonicos, existentes en TODOS los instrumentos de cuerdas, bajos, pianos,etc.). Esto era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno.
Pitágoras no sabía nada de armónicos. El sólo sabía que la longitud de la cuerda con las razones 1:2 y 2:3 producía unas combinaciones de sonidos agradables (una octava mas aguda y una quinta respectivamente) y construyó una escala a partir de estas proporciones.
La serie de Fibonacci
Los números de la llamada serie de Fibonacci, son elementos de una serie infinita. El primer número de esta serie es 1, y cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores. Como el primero es 1 y antes no hay nada, el segundo es 1, el tercero es 1+1, el cuarto es 1+ 2 y así sucesivamente:
Serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .........
Un ejemplo de la utilización de la serie se da en la quinta sinfonía de Beethoven. Beethoven la emplea no sólo en el tema, sino además en la forma en que incluye este tema en el transcurso de la obra, separado por un número de compases que pertenecen a la Serie.
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Desde el siglo V antes de Cristo, un número ha llenado el mundo del arte, de la arquitectura... Está presente en nuestra vida social, en el mundo que nos rodea. El número de oro, también conocido como razón áurea o número de Fidias (en honor al arquitecto que diseñó El Partenón y que lo utilizó para su construcción). Es un número irracional, como el número π = 3,141592..., que se representa con la letra griega Φ y cuyo valor es 1,61803398... (con infinitas cifras decimales no periódicas), es solución de la ecuación Φ = 1 + 1/Φ
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños, angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
En este video, podrán entender muy bien de que se trata (gracias takuramone)
Mezclando los naipes siete veces
En una partida de naipes es frecuente que el jugador que ha tenido una mala mano acuse a quien barajó de no haber mezclado bien las cartas. También podemos observar que quien pierde más tiempo barajando no es otro que el que está teniendo peor suerte en la partida e intenta que ésta cambie mezclando a conciencia las cartas.
En 1991 los matemáticos estadounidenses Persi Diaconis y David Bayer recurrieron a la computadora para estudiar este problema y comprobaron que basta mezclar las cartas siete veces para que su distribución sea aleatoria dentro de una baraja de 52 naipes. Esto quiere decir que cualquier carta tiene la misma probabilidad de encontrarse en cualquier posición. Mezclar las cartas más de siete veces es innecesario y menos de siete insuficiente.
Las 10:08 y las 10:10 en los relojes
¿Te has fijado alguna vez en que casi todos los relojes que aparecen en los anuncios marcan las 10:10 o las 10:08? Si nunca lo has hecho, puedes comprobarlo por ti mismo en Google Images.
¿A qué se deben estas horas tan parecidas? Pues en definitiva a diversos efectos psicológicos y estéticos muy estudiados:
- Las manillas forman un “tick” o “check”, que significa “aceptable” o “ok”. También puede identificarse la posición de las manillas como una sonrisa.
- La posición de las agujas no tapa ni el logo del fabricante ni el calendario, ubicado normalmente a las 9 (cuando está a la izquierda) o a las 3 (cuando se sitúa a la derecha).
- La gente se suele levantar a las 10 de la mañana cuando no tiene que ir a trabajar por que es fin de semana o festivo. En el caso del reloj Casio de la derecha de la imagen podemos ver que el día está fijado como “SUN” (domingo) y que el calendario marca el 30 de junio, para muchos, el comienzo de las vacaciones. Este mensaje subliminal crea una sensación agradable en el posible comprador.
- Si dibujamos un rectángulo dentro de la esfera con el límite marcado por el minutero, éste sería aproximadamente un rectángulo áureo. Se ha demostrado que todo aquello que tenga proporciones aureas es agradable a la vista.
- Si hay segundero, éste suele señalar los 25 o 35 segundos. Si marcara los 30 segundos dividiría la circunferencia en tres partes iguales, dando una sensación rígida y puramente matemática. Así consigue romperla.
- Y estos sólo son algunos de los motivos de por qué los publicistas eligen fotografiar los relojes a las 10:08 y a las 10:10. Si te interesa este tema encontrarás más información en El Diario de un Teleco.
El origen de los símbolos matemáticos
- El matemático alemán Michael Stifel (1485 -1567) en su obra Arithmetica Integra popularizó los símbolos “+” y “-” desplazando a los signos “p” (plus) y “m” (minus). Según el matemático español Rey Pastor (1888-1962), los signos “+” y “-” fueron utilizados por primera vez por el científico alemán Widmann (1460-1498).
- Robert Recode (1510-1558), matemático y médico inglés, fue el creador del símbolo “=“. Para él no había dos cosas más iguales que dos lineas rectas paralelas.
- El símbolo que conocemos como “raíz de” apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra de 1525. Antes, para designar la raíz de un número se escribía literalmente “raíz de …”. Para abreviar se usó simplemente la letra “r“, pero cuando los números eran grandes se alargaba el trazo horizontal de la misma dando origen al símbolo que utilizamos hoy en día.
- El matemático François Viète (1540 – 1603) fue el primero en utilizar letras para designar las incógnitas y constantes.
- A Tomas Harriot (1560 – 1621) le debemos los signos actuales de “>” y “<“, y el “.” como símbolo de multiplicación.
- Los símbolos de multiplicación “x” y división “:” fueron introducidos por el matemático William Oughtred (1574-1660) en el año 1657.
- El símbolo de la integral fue propuesto por Gottfried Leibniz (1646-1716) y lo extrajo de la palabra latina “summa” tomando su inicial. A Leibniz le debemos muchos más signos notacionales como “dx” y además fue quien popularizó el “.” como signo de multiplicación.
Sumando las caras ocultas de los dados
Este es un pequeño juego o truco con el que puedes demostrar a tus amigos que eres capaz de sumar las caras ocultas de una torre de tres dados. Tendrás que pedirle a uno de los presentes que apile los dados sin que tu le veas y que te avise cuando acabe.
Habrá que restarle a 21 el número que marque el dado de la cima de la torre y esa será la suma de las caras ocultas. Puedes pedir que te lo pongan más difícil apilando cuatro dados, y esta vez para acertar la suma tendrás que restarle a 28 la cima.
Este truco se basa en que las caras opuestas de un dado de seis caras suman 7.
Si no entendiste nada no te preocupes.. acá tenés algunos chistes para que no te vayas con las manos vacias..
mis otros posts..
las cosas las saque de diferentes libros como.. "¿Matemáticas estas ahí?" de Adrian Paenza y "Música y Matemáticas. De Schoenberg a Xenakis" por Iñigo Ibaibarriaga. (entre otros)
Si no te gustan las matemáticas, no te vayas.. mira el post que seguro algo te va a gustar
ACLARACIÓN: este post ya lo habia posteado, pero lo queria postear de nuevo en esta categoría.
BIEN POR LA NUEVA CATEGORÍA // Recuperemos la Inteligencia Colectiva
¿Es verdad que 0,99999… = 1?
Está claro que
x = 0,9999… (*)
es un número real. Por otro lado, el número 1 también es un número
real. ¿Qué relación hay entre ambos? Veamos.
Multiplicando (*) por 10 de ambos lados, se tiene:
Luego, dividiendo por 9 en ambos términos, se tiene:
x = 1 (**)
Comparando (*) con (**), se concluye que
0,99999… = 1
Está claro que
x = 0,9999… (*)
es un número real. Por otro lado, el número 1 también es un número
real. ¿Qué relación hay entre ambos? Veamos.
Multiplicando (*) por 10 de ambos lados, se tiene:
10x = 9,99999…
- x = 0,99999… y ahora, resto
---------------
9x = 9
- x = 0,99999… y ahora, resto
---------------
9x = 9
Luego, dividiendo por 9 en ambos términos, se tiene:
x = 1 (**)
Comparando (*) con (**), se concluye que
0,99999… = 1
Recibí muchos comentarios y mensajes sobre esto... asi que aqui les aclaro algunas cosas y les dejo una demostracion que se me ocurrio puede aclarar mucho.
a) 0,9999... dice que hay infinitos numeros 9 despues de la coma (o sea 0,9 periódico)
b) lo que se sugiere es que el numero 1 tiene dos formas distintas de escribirse pero sin dudas es un solo numero.
una demostración sencilla es:
1= 1/3 + 1/3 + 1/3= 0,333… + 0,333… +0,333… = 0,999…
Otra facil demostración...
No existe ningún número real entre 0,999… y 1
A partir del hecho: Si dos números reales son diferentes, entonces existe al menos un tercero entre los dos, diferente de éstos. Si 0,999… y 1 fueran diferentes, sería posible encontrar un número entre ellos, por ejemplo, la media aritmética de los dos. Ahora bien, es imposible intercalar ningún número entre 0,999… y 1, y por tanto deben ser iguales.
¡No olviden que hay infinitos numeros nueve despues de la coma!
si aún no queda claro y saben algo de matemática, aquí un link de wikipedia donde lo explica bien, con demostración formal:
demostración
Patrones y bellezas matemáticos
[color=green]La matemática ofrece (también) muchas curiosidades, entre las que se encuentran ciertas simetrías y patrones de extraña belleza.
¿Está todo "ordenado" y sólo lo descubrimos? ¿O lo inventamos
nosotros?
Aquí van algunos ejemplos.
1 · 8 + 1 = 9
12 · 8 + 2 = 98
123 · 8 + 3 = 987
1.234 · 8 + 4 = 9.876
12.345 · 8 + 5 = 98.765
123.456 · 8 + 6 = 987.654
1.234.567 · 8 + 7 = 9.876.543
12.345.678 · 8 + 8 = 98.765.432
123.456.789 · 8 + 9 = 987.654.321
1 · 9 + 2 = 11
12 · 9 + 3 = 111
123 · 9 + 4 = 1.111
1234 · 9 + 5 = 11.111
12.345 · 9 + 6 = 111.111
123.456 · 9 + 7 = 1.111.111
1.234.567 · 9 + 8 = 11.111.111
12.345.678 · 9 + 9 = 111.111.111
123.456.789 · 9 +10 = 1.111.111.111
9 · 9 + 7 = 88
98 · 9 + 6 = 888
987 · 9 + 5 = 8.888
9.876 · 9 + 4 = 88.888
98.765 · 9 + 3 = 888.888
987.654 · 9 + 2 = 8.888.888
9.876.543 · 9 + 1 = 88.888.888
98.765.432 · 9 + 0 = 888.888.888
1 · 1 = 1
11 · 11 = 121
111 · 111 = 12.321
1.111 · 1.111 = 1.234.321
11.111 · 11.111 = 123.454.321
111.111 · 111.111 = 12.345.654.321
1.111.111 · 1.111.111 = 1.234.567.654.321
11.111.111 · 11.111.111 = 123.456.787.654.321
111.111.111 · 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321
12 · 8 + 2 = 98
123 · 8 + 3 = 987
1.234 · 8 + 4 = 9.876
12.345 · 8 + 5 = 98.765
123.456 · 8 + 6 = 987.654
1.234.567 · 8 + 7 = 9.876.543
12.345.678 · 8 + 8 = 98.765.432
123.456.789 · 8 + 9 = 987.654.321
1 · 9 + 2 = 11
12 · 9 + 3 = 111
123 · 9 + 4 = 1.111
1234 · 9 + 5 = 11.111
12.345 · 9 + 6 = 111.111
123.456 · 9 + 7 = 1.111.111
1.234.567 · 9 + 8 = 11.111.111
12.345.678 · 9 + 9 = 111.111.111
123.456.789 · 9 +10 = 1.111.111.111
9 · 9 + 7 = 88
98 · 9 + 6 = 888
987 · 9 + 5 = 8.888
9.876 · 9 + 4 = 88.888
98.765 · 9 + 3 = 888.888
987.654 · 9 + 2 = 8.888.888
9.876.543 · 9 + 1 = 88.888.888
98.765.432 · 9 + 0 = 888.888.888
1 · 1 = 1
11 · 11 = 121
111 · 111 = 12.321
1.111 · 1.111 = 1.234.321
11.111 · 11.111 = 123.454.321
111.111 · 111.111 = 12.345.654.321
1.111.111 · 1.111.111 = 1.234.567.654.321
11.111.111 · 11.111.111 = 123.456.787.654.321
111.111.111 · 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321
Si uno multiplica 111.111.111 por sí mismo, es decir, si lo
eleva al cuadrado, se obtiene el número:
12.345.678.987.654.321
En realidad, es esperable que esto pase porque si uno piensa
cómo hace para multiplicar dos números (y lo invito a que
lo haga), advierte que multiplica cada dígito del segundo por
todos los dígitos del primero, y los corre hacia la izquierda a
medida que avanza.
eleva al cuadrado, se obtiene el número:
12.345.678.987.654.321
En realidad, es esperable que esto pase porque si uno piensa
cómo hace para multiplicar dos números (y lo invito a que
lo haga), advierte que multiplica cada dígito del segundo por
todos los dígitos del primero, y los corre hacia la izquierda a
medida que avanza.
Los matemáticos y las vacas
En un tren viajaban tres personas: un economista, un lógico y
un matemático.
Recién habían cruzado la frontera que separa a, digamos, Francia
y España. En ese momento, desde una de las ventanas del tren, ven
una vaca marrón. La vaca está comiendo pasto en forma paralela al
tren. El economista dice: "Miren… las vacas en España son marrones".
El lógico replica: "No. Las vacas en España tienen al menos un
lado que es marrón". El matemático interviene confiado y dice con
autoridad: "No. Hay al menos una vaca en España, uno de cuyos lados
parece ser marrón".
Más allá de que esto parezca una broma, tiene un ángulo interesante
para analizar. En rigor, en función de los datos que ellos tenían,
de las tres conclusiones que sacaron, la única que se puede sostener
es la del matemático. Las otras dos parecen ciertas también, claro,
pero se apoyan en que nosotros sabemos algunas cosas más sobre las
vacas, y esa información la querríamos usar si estuviéramos en el tren.
Niñas en la playa
Aquí se trata de otra manera de ilustrar cómo funciona nuestro
cerebro. La flexibilidad y plasticidad que tenemos (y que no sé si usamos
apropiadamente) es en verdad asombrosa.
Lea el texto que sigue. Al principio le va a resultar incomprensible.
Cuando termine de leerlo (seguro que más de una vez) casi seguro
se habrá sorprendido, más que nada porque en el camino uno descubre
que tiene capacidades que no conocía.
C13R70 D14 D3 V3R4N0 35748B4 3N L4 PL4Y4
0853RV4ND0 D05 CH1C45 8R1NC4ND0 3N L4 4R3N4,
357484N 7R484J4ND0 MUCH0, C0N57RUY3ND0 UN
C4571LL0 D3 4R3N4 C0N 70RR35, P454D1Z05 0CUL705 Y
PU3N735. CU4ND0 357484N 4C484ND0 V1N0 UN4 OL4
9U3 D357RUY0 70D0 R3DUC13ND0 3L C4571LL0 4 UN
MON70N D3 4R3N4 Y 35PUM4. P3N53 9U3 D35PU35 DE
74N70 35FU3RZ0 L45 CH1C45 C0M3NZ4R14N 4 L10R4R,
P3R0 3N VEZ D3 350, CORR13R0N P0R L4 P14YR R13ND0
Y JU64ND0 Y COM3NZ4R0N 4 C0N574U14 O740
C4571LL0.
C0MPR3ND1 9U3 H4814 4PR3ND1D0 UN4 6R4N L3CC10N;
64574M05 MUCH0 713MP0 D3 NU357R4 V1D4
C0N57RUY3ND0 4L6UN4 C054 P3R0 CU4ND0 M45 74RD3
UN4 0L4 LL364 4 D357RU14 70D0, S0L0 P3RM4N3C3 L4
4M1574D, 3L 4M0R Y 3L C4R1Ñ0, Y L45 M4N05 D3
49U3LL05 9U3 50N C4P4C35 D3 H4C3RN05 50NR31R.
S4LUD05 Y 83505
Aquí se trata de otra manera de ilustrar cómo funciona nuestro
cerebro. La flexibilidad y plasticidad que tenemos (y que no sé si usamos
apropiadamente) es en verdad asombrosa.
Lea el texto que sigue. Al principio le va a resultar incomprensible.
Cuando termine de leerlo (seguro que más de una vez) casi seguro
se habrá sorprendido, más que nada porque en el camino uno descubre
que tiene capacidades que no conocía.
C13R70 D14 D3 V3R4N0 35748B4 3N L4 PL4Y4
0853RV4ND0 D05 CH1C45 8R1NC4ND0 3N L4 4R3N4,
357484N 7R484J4ND0 MUCH0, C0N57RUY3ND0 UN
C4571LL0 D3 4R3N4 C0N 70RR35, P454D1Z05 0CUL705 Y
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Y JU64ND0 Y COM3NZ4R0N 4 C0N574U14 O740
C4571LL0.
C0MPR3ND1 9U3 H4814 4PR3ND1D0 UN4 6R4N L3CC10N;
64574M05 MUCH0 713MP0 D3 NU357R4 V1D4
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4M1574D, 3L 4M0R Y 3L C4R1Ñ0, Y L45 M4N05 D3
49U3LL05 9U3 50N C4P4C35 D3 H4C3RN05 50NR31R.
S4LUD05 Y 83505
La historia de Google
¿
Quiere entrar a trabajar en Google? Necesita estar preparado,
por ejemplo, para resolver problemas como los que siguen.
La historia, al menos para mí, empezó en agosto del 2004.
Estaba en Boston y al pasar por una estación de subte vi un cartel
de publicidad muy grande, de unos quince metros de largo,
colgado del techo de la estación correspondiente a la Universidad
de Harvard. El cartel decía:
(primer primo de 10 dígitos consecutivos del desarrollo de e).com
Nada más. Eso era todo lo que decía el enorme cartel. Obviamente,
me llamó muchísimo la atención, y lo primero que pensé
si se trataría efectivamente de un cartel de publicidad o si
alguien estaría haciendo una broma o algo por el estilo. Pero
no, el cartel tenía todas las características de ser una propaganda
convencional.
Sin que nadie se sienta intimidado, podemos afirmar que
cuando uno dice que algo crece exponencialmente, aunque no lo
sepa, involucra al número e. Cuando uno habla de logaritmos,
habla del número e. Cuando habla de interés compuesto, habla
del número e. Cuando se refiere a la escala de Richter para medir
terremotos, está involucrado el número e.
Del mismo modo que nos acostumbramos a oír o a leer que
el número pi se escribe:
pi = 3,14159…
el número e también tiene infinitas cifras, y las primeras son:
e = 2,718281828…
El número e es una suerte de pariente cercano de pi, en el
sentido de que, como pi, es irracional y trascendente.
La historia sigue así: después de ver el cartel (y descubrirlo
en otros lugares más), le comuniqué mi hallazgo a mi amigo Carlos
D'Andrea, matemático egresado de la Universidad de Buenos
Aires (UBA), ahora instalado en Barcelona luego de su exitoso
paso por Berkeley.
Carlos le trasladó la pregunta a Pablo Mislej, otro matemático
argentino que en ese momento trabajaba en un banco en
Buenos Aires (y acababa de tener su primer hijo). Unos días después,
Pablo me escribió un e-mail contándome lo que había
encontrado. Ni bien vio el problema, comprendió que necesitaba
encontrar la mayor cantidad de decimales que hubiera publi-
cados del número e. Y encontró el primer millón de dígitos de
e en esta página:
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil
Esos datos se conocen hace ya muchos años, más precisamente
desde 1994. Lo que tuvo que hacer Pablo fue separar la
información en segmentos de diez numeritos cada uno, y luego
fijarse cuál era el primero en formar un número primo. Como se
dará cuenta, todo esto es imposible de realizar sin una computadora,
y siendo capaces de crear un programa que lo procese.
La primera tira de 10 dígitos que cumplía con lo pedido era:
7427466391
El número 7 que aparece en primer lugar en la tira corresponde
al dígito 99 de la parte decimal del número e.
Con ese dato, a continuación Pablo tuvo que ir a la página
web http://www.7427466391.com y ver qué pasaba. Cuando
llegó a ese punto, se encontró con otro problema (algo así
como La búsqueda del tesoro). Claro que para llegar a él debió
resolver el primero.
Y lo que Pablo vio fue lo siguiente:
f(1) = 7182818284
f(2) = 8182845904
f(3) = 8747135266
f(4) = 7427466391
f(5) = ___________
En este caso, se trataba de completar la secuencia. Es decir,
a partir de los primeros cuatro números de la columna de la
derecha, había que descubrir qué número correspondía al quinto
lugar.
Pablo me escribió que, con un poco de suerte, advirtió que la
suma de los diez dígitos de los primeros cuatro números da siempre
49. No sólo eso: como ya tenía los datos sobre el número e
y su desarrollo, dedujo que los primeros cuatro números de esa
columna correspondían a cuatro de las "tiras" que él ya tenía.
Es más: vio que el primer número,
7182818284
correspondía a los primeros diez dígitos del desarrollo decimal
del número e.
El segundo:
8182845904
son los dígitos que van del quinto hasta el decimocuarto lugar.
El tercero:
8747135266
corresponde a los dígitos que van del lugar 23 al 32. Y por último,
el cuarto:
7427466391
es la "tira" que involucra a los dígitos 99 al 108 del desarrollo
de e. Se dio cuenta, entonces, de que estaba cerca: necesitaba
buscar ahora la primera "tira" de todas las que no había usado,
que sumara 49… ¡Y la encontró!
El candidato a ser el quinto número de la secuencia era el
5966290435
que corresponde a los dígitos 127 al 136 del desarrollo decimal.
Cuando completó la secuencia, y pulsó enter en su computadora,
apareció súbitamente en otra página web. Ésta decía:
http://www.google.com/labjobs/index.html
donde invitaban a enviar el currículum vitae, que sería tenido
en cuenta por la firma Google para un futuro contrato, porque
quien hubiera ingresado en esa página habría superado los obstáculos
que ellos creían suficientes para poder pertenecer a la
empresa.
por ejemplo, para resolver problemas como los que siguen.
La historia, al menos para mí, empezó en agosto del 2004.
Estaba en Boston y al pasar por una estación de subte vi un cartel
de publicidad muy grande, de unos quince metros de largo,
colgado del techo de la estación correspondiente a la Universidad
de Harvard. El cartel decía:
(primer primo de 10 dígitos consecutivos del desarrollo de e).com
Nada más. Eso era todo lo que decía el enorme cartel. Obviamente,
me llamó muchísimo la atención, y lo primero que pensé
si se trataría efectivamente de un cartel de publicidad o si
alguien estaría haciendo una broma o algo por el estilo. Pero
no, el cartel tenía todas las características de ser una propaganda
convencional.
Sin que nadie se sienta intimidado, podemos afirmar que
cuando uno dice que algo crece exponencialmente, aunque no lo
sepa, involucra al número e. Cuando uno habla de logaritmos,
habla del número e. Cuando habla de interés compuesto, habla
del número e. Cuando se refiere a la escala de Richter para medir
terremotos, está involucrado el número e.
Del mismo modo que nos acostumbramos a oír o a leer que
el número pi se escribe:
pi = 3,14159…
el número e también tiene infinitas cifras, y las primeras son:
e = 2,718281828…
El número e es una suerte de pariente cercano de pi, en el
sentido de que, como pi, es irracional y trascendente.
La historia sigue así: después de ver el cartel (y descubrirlo
en otros lugares más), le comuniqué mi hallazgo a mi amigo Carlos
D'Andrea, matemático egresado de la Universidad de Buenos
Aires (UBA), ahora instalado en Barcelona luego de su exitoso
paso por Berkeley.
Carlos le trasladó la pregunta a Pablo Mislej, otro matemático
argentino que en ese momento trabajaba en un banco en
Buenos Aires (y acababa de tener su primer hijo). Unos días después,
Pablo me escribió un e-mail contándome lo que había
encontrado. Ni bien vio el problema, comprendió que necesitaba
encontrar la mayor cantidad de decimales que hubiera publi-
cados del número e. Y encontró el primer millón de dígitos de
e en esta página:
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil
Esos datos se conocen hace ya muchos años, más precisamente
desde 1994. Lo que tuvo que hacer Pablo fue separar la
información en segmentos de diez numeritos cada uno, y luego
fijarse cuál era el primero en formar un número primo. Como se
dará cuenta, todo esto es imposible de realizar sin una computadora,
y siendo capaces de crear un programa que lo procese.
La primera tira de 10 dígitos que cumplía con lo pedido era:
7427466391
El número 7 que aparece en primer lugar en la tira corresponde
al dígito 99 de la parte decimal del número e.
Con ese dato, a continuación Pablo tuvo que ir a la página
web http://www.7427466391.com y ver qué pasaba. Cuando
llegó a ese punto, se encontró con otro problema (algo así
como La búsqueda del tesoro). Claro que para llegar a él debió
resolver el primero.
Y lo que Pablo vio fue lo siguiente:
f(1) = 7182818284
f(2) = 8182845904
f(3) = 8747135266
f(4) = 7427466391
f(5) = ___________
En este caso, se trataba de completar la secuencia. Es decir,
a partir de los primeros cuatro números de la columna de la
derecha, había que descubrir qué número correspondía al quinto
lugar.
Pablo me escribió que, con un poco de suerte, advirtió que la
suma de los diez dígitos de los primeros cuatro números da siempre
49. No sólo eso: como ya tenía los datos sobre el número e
y su desarrollo, dedujo que los primeros cuatro números de esa
columna correspondían a cuatro de las "tiras" que él ya tenía.
Es más: vio que el primer número,
7182818284
correspondía a los primeros diez dígitos del desarrollo decimal
del número e.
El segundo:
8182845904
son los dígitos que van del quinto hasta el decimocuarto lugar.
El tercero:
8747135266
corresponde a los dígitos que van del lugar 23 al 32. Y por último,
el cuarto:
7427466391
es la "tira" que involucra a los dígitos 99 al 108 del desarrollo
de e. Se dio cuenta, entonces, de que estaba cerca: necesitaba
buscar ahora la primera "tira" de todas las que no había usado,
que sumara 49… ¡Y la encontró!
El candidato a ser el quinto número de la secuencia era el
5966290435
que corresponde a los dígitos 127 al 136 del desarrollo decimal.
Cuando completó la secuencia, y pulsó enter en su computadora,
apareció súbitamente en otra página web. Ésta decía:
http://www.google.com/labjobs/index.html
donde invitaban a enviar el currículum vitae, que sería tenido
en cuenta por la firma Google para un futuro contrato, porque
quien hubiera ingresado en esa página habría superado los obstáculos
que ellos creían suficientes para poder pertenecer a la
empresa.
Cómo conseguir un contrato como
consultor usando un poco de matemática
consultor usando un poco de matemática
Uno puede hacerse pasar por adivino o por una persona muy
entrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar en
la Bolsa de Valores:
Éste es un ejemplo muy interesante. Supongamos que tenemos
una base de datos de 128.000 personas.
Supongamos que uno elige alguna acción
cuyo precio cotice en la Bolsa. Digamos que uno elige el precio del oro. Supongamos también que ustedes
se sientan frente a su computadora un domingo por la tarde.
Buscan la base de datos que tienen y seleccionan las direcciones electrónicas de todas las personas que allí figuran. Entonces,
a la mitad de ellas (64.000) les envían un mail diciéndoles
que el precio del oro va a subir al día siguiente (lunes).
Y a la otra mitad les envían un mail diciéndoles lo contrario:
que el precio del oro va a bajar.
Cuando llega el lunes, al finalizar el día, el precio del oro o
bien subió o bien bajó. Si subió, hay 64.000 personas que habrán
recibido un mail de ustedes diciéndoles que subiría.
Claro, qué importancia tendría. Haber acertado un día lo que
pasaría con el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con la
idea: el lunes a la noche, de las 64.000 personas que habían recibido
su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría,
ustedes seleccionan la mitad (32.000) y les dicen que el martes
volverá a subir. Y a la otra mitad, los otros 32.000, les envían
un mail diciéndoles que va a bajar.
Llegado el martes por la noche, ustedes están seguros de que
hay 32.000 para los cuales ustedes no sólo acertaron lo del martes,
sino que ya habían acertado el lunes. Ahora repitan el proceso.
Al dividir por la mitad, a 16.000 les dicen que va a subir y
al resto, los otros 16.000, que va a bajar. Resultado, el miércoles
ustedes tienen 16.000 personas a las que les avisaron el lunes,
el martes y el miércoles lo que pasaría con el precio del oro. Y
acertaron las tres veces (para este grupo).
Repítanlo una vez más. Al finalizar el jueves, ustedes tienen
8.000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por la noche,
tienen 4.000. Piensen bien: el viernes por la noche, ustedes
tienen 4.000 personas que los vieron acertar todos los días con
lo que pasaría con el precio del oro, sin fallar nunca. Claro que
el proceso podrían seguirlo a la semana siguiente, y podrían tener
dos mil al siguiente lunes, mil al martes y, si queremos estirarlo
aún más, el miércoles de la segunda semana, tendrán 500 personas a las que les fueron diciendo, día por día, durante diez
días, lo que pasaría con el precio del oro.
Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contrataran
como consultor pagándole..
¿no creen que contratarían sus servicios? Recuerden que ustedes
acertaron siempre por diez días consecutivos.
entrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar en
la Bolsa de Valores:
Éste es un ejemplo muy interesante. Supongamos que tenemos
una base de datos de 128.000 personas.
Supongamos que uno elige alguna acción
cuyo precio cotice en la Bolsa. Digamos que uno elige el precio del oro. Supongamos también que ustedes
se sientan frente a su computadora un domingo por la tarde.
Buscan la base de datos que tienen y seleccionan las direcciones electrónicas de todas las personas que allí figuran. Entonces,
a la mitad de ellas (64.000) les envían un mail diciéndoles
que el precio del oro va a subir al día siguiente (lunes).
Y a la otra mitad les envían un mail diciéndoles lo contrario:
que el precio del oro va a bajar.
Cuando llega el lunes, al finalizar el día, el precio del oro o
bien subió o bien bajó. Si subió, hay 64.000 personas que habrán
recibido un mail de ustedes diciéndoles que subiría.
Claro, qué importancia tendría. Haber acertado un día lo que
pasaría con el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con la
idea: el lunes a la noche, de las 64.000 personas que habían recibido
su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría,
ustedes seleccionan la mitad (32.000) y les dicen que el martes
volverá a subir. Y a la otra mitad, los otros 32.000, les envían
un mail diciéndoles que va a bajar.
Llegado el martes por la noche, ustedes están seguros de que
hay 32.000 para los cuales ustedes no sólo acertaron lo del martes,
sino que ya habían acertado el lunes. Ahora repitan el proceso.
Al dividir por la mitad, a 16.000 les dicen que va a subir y
al resto, los otros 16.000, que va a bajar. Resultado, el miércoles
ustedes tienen 16.000 personas a las que les avisaron el lunes,
el martes y el miércoles lo que pasaría con el precio del oro. Y
acertaron las tres veces (para este grupo).
Repítanlo una vez más. Al finalizar el jueves, ustedes tienen
8.000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por la noche,
tienen 4.000. Piensen bien: el viernes por la noche, ustedes
tienen 4.000 personas que los vieron acertar todos los días con
lo que pasaría con el precio del oro, sin fallar nunca. Claro que
el proceso podrían seguirlo a la semana siguiente, y podrían tener
dos mil al siguiente lunes, mil al martes y, si queremos estirarlo
aún más, el miércoles de la segunda semana, tendrán 500 personas a las que les fueron diciendo, día por día, durante diez
días, lo que pasaría con el precio del oro.
Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contrataran
como consultor pagándole..
¿no creen que contratarían sus servicios? Recuerden que ustedes
acertaron siempre por diez días consecutivos.
1 = 2
Supongamos que uno tiene dos números cualesquiera: a y b.
Supongamos, además, que
a = b
Síganme con este razonamiento. Si multiplico a ambos miembros
por a, se tiene
a^2 = ab
Sumemos ahora (a^2 – 2ab) en ambos miembros.
Resulta entonces la siguiente igualdad
a^2 + (a^2 - 2ab) = ab + (a^2 - 2ab)
O sea, agrupando:
2(a^2) – 2ab = a^2 – ab
Sacando factor común en cada miembro,
2a (a-b) = a (a-b)
Luego, simplificando en ambos lados por (a-b) se tiene:
2a = a.
Ahora, simplificamos la a de ambos lados, y se tiene:
2 = 1
¿Dónde está el error? Es que tiene que haber alguno, ¿no?
Quizá ustedes ya se dieron cuenta. Quizá todavía no. Les sugiero
que lean detenidamente cada paso y traten de descubrir solos
dónde está el error.
[/color]
¿Cuántas veces se puede doblar un papel?
Esto lo vi en un post... y saltaron varios comentarios al respecto (sobre si las cazadores de mitos tenian razon o no)
aca la explicacion matemática
Supongamos que uno tuviera una hoja de papel bien finita,
como las que se usan habitualmente para imprimir la Biblia. Es
más, en algunas partes del mundo este papel se conoce como el
“papel de Biblia”. En realidad, parece un papel “de seda”.
Para fijar las ideas, digamos que tiene un grosor de 1 milésima
de centímetro.
O sea, 10-3 cm = 0,001 cm
Supongamos también que uno tiene una hoja grande de ese
papel, como si fuera la hoja de un diario.
Ahora, empecemos a doblarlo por la mitad.
¿Cuántas veces creen ustedes que podrían doblarlo? Y tengo
otra pregunta: si lo pudieran doblar y doblar tantas veces como
quisieran, digamos unas treinta veces, ¿cuál creen que sería
el grosor del papel que tendrían en la mano entonces?
Luego de doblarlo una vez,
tendríamos un papel de un grosor de 2 milésimas de centímetro.
Si lo dobláramos una vez más, sería de 4 milésimas de centímetro.
Cada doblez que hacemos a la hoja, se duplica el grosor.
Y si seguimos doblándolo una y otra vez (siempre por la mitad) tendríamos la siguiente situación, después de diez dobleces:
210 (esto significa multiplicar el número 2 diez veces por sí
mismo) = 1.024 milésimas de cm = 1 cm aproximadamente.
¿Qué dice esto? Que si uno doblara el papel 10 (diez) veces,
obtendríamos un grosor de un poco más de un centímetro.
Supongamos que seguimos doblando el papel, siempre por la mitad.
¿Qué pasaría entonces?
Si lo dobláramos 17 veces, tendríamos un grosor de
217 = 131.072 milésimas de cm = un poco más de un metro.
Si pudiéramos doblarlo 27 veces, se tendría:
227 = 134.217.728 milésimas de cm, o sea un poco más de
¡1.342 metros! O sea, ¡casi un kilómetro y medio!
Vale la pena detenerse un instante: doblando un papel, aun tan
finito como el papel de Biblia, sólo veintisiete veces, tendríamos
un papel que casi alcanzaría el kilómetro y medio de espesor.
DIOS NO EXISTE
paradoja de Bertrand Russell
Pongámonos primero de acuerdo con lo que quiere decir
Dios. Por definición, la existencia de Dios está igualada con la
existencia de un ser todopoderoso. En la medida en que nosotros
podamos probar que nada ni nadie puede ser omnipotente, entonces,
nadie podrá adjudicarse el “ser Dios”.
Vamos a probar esto “por el absurdo”; o sea, vamos a suponer
que el resultado es cierto y eso nos va a llevar a una contradicción.
Supongamos que Dios existe. Entonces, como hemos dicho,
en tanto que Dios, debe ser todopoderoso. Lo que vamos a hacer es probar que no puede haber nadie todopoderoso. O
lo que es lo mismo: no puede haber nadie que tenga todos los
poderes.
Y hacemos así: si existiera alguien que tuviera todos los poderes,
debería tener el poder de hacer piedras muy grandes. No
le puede faltar este poder, porque si no, ya demostraría que no es
todopoderoso. Entonces, concluimos que tiene que tener el poder
de hacer piedras muy grandes. No sólo tiene que tener el
poder de hacer piedras muy grandes, sino que tiene que ser capaz
de hacer piedras que él no pueda mover… no le puede faltar
este poder (ni ningún otro si vamos al caso). Luego, tiene
que ser capaz de hacer piedras y que esas piedras sean muy grandes.
Tan grandes, que eventualmente él no las pueda mover.
Ésta es la contradicción, porque si hay piedras que él no pueda
mover, eso significa que le falta un poder. Y si tales piedras no
las puede hacer, eso significa que le falta ese poder. En definitiva,
cualquiera que pretenda ser todopoderoso adolecerá de un
problema: o bien le falta el poder de hacer piedras tan grandes
que él no pueda mover, o bien existen piedras que él no puede
mover. De una u otra forma, no puede haber nadie todopoderoso
(y eso era lo que queríamos probar).
Aldea global
Si pudiéramos en este momento encoger la población de la
Tierra hasta llevarla al tamaño de una villa de exactamente cien
personas, manteniendo todas las proporciones humanas existentes
en la actualidad, el resultado sería el siguiente:
• Habría 57 asiáticos, 21 europeos, 14 americanos
y 8 africanos
• 70 serían no blancos; 30 blancos
• 70 serían no cristianos; 30 cristianos
• 50% de la riqueza de todo el planeta estaría en manos
de seis personas. Los seis serían ciudadanos de los
Estados Unidos
• 70 serían analfabetos
• 50 sufrirían de malnutrición
• 80 habitarían viviendas de construcción precaria
• Sólo uno tendría educación de nivel universitario.
¿No es cierto que creíamos que la Humanidad había alcanzado
un mayor nivel de desarrollo?
Estos datos corresponden a una publicación de las Naciones
Unidas del 10 de agosto de 1996. Si bien han pasado casi diez
años, no dejan de ser datos sorprendentes.
Sobre monos y bananas
Supongamos que tenemos seis monos en una pieza. Del cielo
raso cuelga un racimo de bananas. Justo debajo de él hay una
escalera (como la de un pintor o un carpintero). No hace falta
que pase mucho tiempo para que uno de los monos suba las escaleras
hacia las bananas.
Y ahí comienza el experimento: en el mismo momento en
que toca la escalera, todos los monos son rociados con agua helada.
Naturalmente, eso detiene al mono. Luego de un rato, el
mismo mono o alguno de los otros hace otro intento con el mismo
resultado: todos los monos son rociados con el agua helada
a poco que uno de ellos toque la escalera. Cuando este proceso
se repite un par de veces más, los monos ya están advertidos.
Ni bien alguno de ellos quiere intentarlo, los otros tratan de evitarlo,
y terminan a los golpes si es necesario.
Una vez que llegamos a este estadio, retiramos uno de los monos
de la pieza y lo sustituimos por uno nuevo (que obviamente
no participó del experimento hasta aquí). El nuevo mono ve las bananas
e inmediatamente trata de subir por las escaleras. Para su horror,
todos los otros monos lo atacan. Y obviamente se lo impiden.
Luego de un par de intentos más, el nuevo mono ya aprendió: si intenta
subir por las escaleras lo van a golpear sin piedad.
Luego, se repite el procedimiento: se retira un segundo mono
y se incluye uno nuevo otra vez. El recién llegado va hacia las
escaleras y el proceso se repite: ni bien la toca (la escalera), es
atacado masivamente. No sólo eso: el mono que había entrado
justo antes que él (¡que nunca había experimentado el agua helada!)
participaba del episodio de violencia con gran entusiasmo.
Un tercer mono es reemplazado y ni bien intenta subir las escaleras,
los otros cinco lo golpean. Con todo, dos de los monos
que lo golpean no tienen ni idea de por qué uno no puede subir
las escaleras. Se reemplaza un cuarto mono, luego el quinto
y por último, el sexto, que a esta altura es el único que quedaba
del grupo original. Al sacar a éste ya no queda ninguno que
haya experimentado el episodio del agua helada. Sin embargo,
una vez que el último lo intenta un par de veces, y es golpeado
furiosamente por los otros cinco, ahora queda establecida la regla:
no se puede subir por las escaleras. Quien lo hace se expone
a una represión brutal. Sólo que ahora ninguno de los seis tiene
argumentos para sostener tal barbarie.
Cualquier similitud con la realidad de los humanos no es pura
coincidencia ni casualidad. Es que así somos: como monos
¿Cómo ganar a la ruleta?
Esto lo leí en un libro matemático pero no recuerdo cual, asi que lo escribí yo..
Muchos de los que juegan a menudo sabran este "truco". La cosa es simple, hay que jugar a "la chance" (rojo o negro, par o impar) y siempre doblar la apuesta de lo que perdieron, es decir: supongamos que apuesto 1 ficha al rojo y sale negro, en la proxima apostaré dos fichas (si gano, recupero la que perdi y gano una mas) si pierdo otra vez, apuesto 4 fichas. Si gano recupero las tres que perdi y gano una mas (gano 4), si pierdo apuesto 8 fichas.. y así hasta ganar (si tenes suficientes fichas y algo de suerte, en algun momento ganas)
El ejemplo es con la ruleta pero puede aplicarse a otros juegos..
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Música y matemáticas
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A los que les gusta la música (sobre todo tocar algún instrumento y saber algo sobre partituras y lenguaje musical) esto les gustará. Es un tema sabido.. preo no para todos
Introducción histórica
Las matemáticas nacen de la necesidad de registrar el paso del tiempo y consistieron,
en un principio, solamente en números y conteos. Existía la necesidad de
llevar un registro de las cosechas del ganado y de las operaciones comerciales. Así
se desarrollaron signos y palabras para los números.
La Música nace de la necesidad de protegerse de ciertos fenómenos naturales, de alejar los espíritus malignos, de atraer la ayuda de los dioses, de honrarlos y festejar sus fiestas y celebrar el cambio de las estaciones.
Los Pitagóricos
Se dice que Pitágoras acuñó la palabra matemáticas, que significa "lo que es aprendido". Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. La música griega existía mucho antes, era esencialmente melódica más que armónica (combinacion de sonidos diferentes, pero acordes entre si) y era microtonal; su escala contenía muchos más sonidos que la escala de doce sonidos del mundo occidental (do re mi fa sol la si.. con sus respectivos sostenidos).
Fue Pitágoras quien descubrió que existe una relación numérica entre tonos que sonaban "armónicos" y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y de placer, podía ser medida por medio de razones de números enteros.
Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende el longitud, grosor y tensión de la misma (guitarra, bajo, violin, etc. hace tu experimento con un elastico de los que se le salen a la ropa
). Lo que Pitágoras descubrió es que al dividir una cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído (si tocas la guitarra, te daras cuenta que esto no es ni mas ni menos que los famosos armonicos, existentes en TODOS los instrumentos de cuerdas, bajos, pianos,etc.). Esto era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno.
Pitágoras no sabía nada de armónicos. El sólo sabía que la longitud de la cuerda con las razones 1:2 y 2:3 producía unas combinaciones de sonidos agradables (una octava mas aguda y una quinta respectivamente) y construyó una escala a partir de estas proporciones.
La serie de Fibonacci
Los números de la llamada serie de Fibonacci, son elementos de una serie infinita. El primer número de esta serie es 1, y cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores. Como el primero es 1 y antes no hay nada, el segundo es 1, el tercero es 1+1, el cuarto es 1+ 2 y así sucesivamente:
Serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .........
Un ejemplo de la utilización de la serie se da en la quinta sinfonía de Beethoven. Beethoven la emplea no sólo en el tema, sino además en la forma en que incluye este tema en el transcurso de la obra, separado por un número de compases que pertenecen a la Serie.
El Número de Oro
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Desde el siglo V antes de Cristo, un número ha llenado el mundo del arte, de la arquitectura... Está presente en nuestra vida social, en el mundo que nos rodea. El número de oro, también conocido como razón áurea o número de Fidias (en honor al arquitecto que diseñó El Partenón y que lo utilizó para su construcción). Es un número irracional, como el número π = 3,141592..., que se representa con la letra griega Φ y cuyo valor es 1,61803398... (con infinitas cifras decimales no periódicas), es solución de la ecuación Φ = 1 + 1/Φ
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños, angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
En este video, podrán entender muy bien de que se trata (gracias takuramone)
Algunas curiosidades
Mezclando los naipes siete veces
En una partida de naipes es frecuente que el jugador que ha tenido una mala mano acuse a quien barajó de no haber mezclado bien las cartas. También podemos observar que quien pierde más tiempo barajando no es otro que el que está teniendo peor suerte en la partida e intenta que ésta cambie mezclando a conciencia las cartas.
En 1991 los matemáticos estadounidenses Persi Diaconis y David Bayer recurrieron a la computadora para estudiar este problema y comprobaron que basta mezclar las cartas siete veces para que su distribución sea aleatoria dentro de una baraja de 52 naipes. Esto quiere decir que cualquier carta tiene la misma probabilidad de encontrarse en cualquier posición. Mezclar las cartas más de siete veces es innecesario y menos de siete insuficiente.
Las 10:08 y las 10:10 en los relojes
¿Te has fijado alguna vez en que casi todos los relojes que aparecen en los anuncios marcan las 10:10 o las 10:08? Si nunca lo has hecho, puedes comprobarlo por ti mismo en Google Images.
¿A qué se deben estas horas tan parecidas? Pues en definitiva a diversos efectos psicológicos y estéticos muy estudiados:
- Las manillas forman un “tick” o “check”, que significa “aceptable” o “ok”. También puede identificarse la posición de las manillas como una sonrisa.
- La posición de las agujas no tapa ni el logo del fabricante ni el calendario, ubicado normalmente a las 9 (cuando está a la izquierda) o a las 3 (cuando se sitúa a la derecha).
- La gente se suele levantar a las 10 de la mañana cuando no tiene que ir a trabajar por que es fin de semana o festivo. En el caso del reloj Casio de la derecha de la imagen podemos ver que el día está fijado como “SUN” (domingo) y que el calendario marca el 30 de junio, para muchos, el comienzo de las vacaciones. Este mensaje subliminal crea una sensación agradable en el posible comprador.
- Si dibujamos un rectángulo dentro de la esfera con el límite marcado por el minutero, éste sería aproximadamente un rectángulo áureo. Se ha demostrado que todo aquello que tenga proporciones aureas es agradable a la vista.
- Si hay segundero, éste suele señalar los 25 o 35 segundos. Si marcara los 30 segundos dividiría la circunferencia en tres partes iguales, dando una sensación rígida y puramente matemática. Así consigue romperla.
- Y estos sólo son algunos de los motivos de por qué los publicistas eligen fotografiar los relojes a las 10:08 y a las 10:10. Si te interesa este tema encontrarás más información en El Diario de un Teleco.
El origen de los símbolos matemáticos
- El matemático alemán Michael Stifel (1485 -1567) en su obra Arithmetica Integra popularizó los símbolos “+” y “-” desplazando a los signos “p” (plus) y “m” (minus). Según el matemático español Rey Pastor (1888-1962), los signos “+” y “-” fueron utilizados por primera vez por el científico alemán Widmann (1460-1498).
- Robert Recode (1510-1558), matemático y médico inglés, fue el creador del símbolo “=“. Para él no había dos cosas más iguales que dos lineas rectas paralelas.
- El símbolo que conocemos como “raíz de” apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra de 1525. Antes, para designar la raíz de un número se escribía literalmente “raíz de …”. Para abreviar se usó simplemente la letra “r“, pero cuando los números eran grandes se alargaba el trazo horizontal de la misma dando origen al símbolo que utilizamos hoy en día.
- El matemático François Viète (1540 – 1603) fue el primero en utilizar letras para designar las incógnitas y constantes.
- A Tomas Harriot (1560 – 1621) le debemos los signos actuales de “>” y “<“, y el “.” como símbolo de multiplicación.
- Los símbolos de multiplicación “x” y división “:” fueron introducidos por el matemático William Oughtred (1574-1660) en el año 1657.
- El símbolo de la integral fue propuesto por Gottfried Leibniz (1646-1716) y lo extrajo de la palabra latina “summa” tomando su inicial. A Leibniz le debemos muchos más signos notacionales como “dx” y además fue quien popularizó el “.” como signo de multiplicación.
Sumando las caras ocultas de los dados
Este es un pequeño juego o truco con el que puedes demostrar a tus amigos que eres capaz de sumar las caras ocultas de una torre de tres dados. Tendrás que pedirle a uno de los presentes que apile los dados sin que tu le veas y que te avise cuando acabe.
Habrá que restarle a 21 el número que marque el dado de la cima de la torre y esa será la suma de las caras ocultas. Puedes pedir que te lo pongan más difícil apilando cuatro dados, y esta vez para acertar la suma tendrás que restarle a 28 la cima.
Este truco se basa en que las caras opuestas de un dado de seis caras suman 7.
Historia de Carl Friedrich Gauss
La historia se sitúa alrededor
de 1784, en Brunswick, Alemania.
Una maestra de segundo grado de la escuela primaria (de nombre
Buttner, aunque los datos afirman que estaba acompañada por
un asistente, Martin Bartels también) estaba cansada del “lío” que
hacían los chicos, y para tenerlos quietos un poco, les dio el siguiente
problema: “calculen la suma de los primeros cien números”. La
idea era tenerlos callados durante un rato. El hecho es que un niño
levantó la mano casi inmediatamente, sin siquiera darle tiempo
a la maestra para que terminara de acomodarse en su silla.
—¿Sí? —preguntó la maestra mirando al niño.
—Ya está, señorita —respondió el pequeño—. El resultado es
5.050.
La maestra no podía creer lo que había escuchado, no porque
la respuesta fuera falsa, que no lo era, sino porque estaba desconcertada
ante la rapidez.
—¿Ya lo habías hecho antes? —preguntó.
—No, lo acabo de hacer.
Mientras tanto, los otros niños recién habían llegado a escribir
en el papel los primeros dígitos, y no entendían el intercambio
entre su compañero y la maestra.
—Vení y contanos a todos cómo lo hiciste.
El jovencito, se levantó de su asiento y sin llevar siquiera el
papel que tenía adelante se acercó humildemente hasta el pizarrón
y comenzó a escribir los números:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 96 + 97+ 98 + 99 + 100
—Bien —siguió el jovencito—. Lo que hice fue sumar el primero y el último número (o sea, el 1 y el 100). Esa suma da 101.
—Después, seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99).
Esta suma vuelve a dar 101.
—Luego, separé el tercero y el antepenúltimo (el 3 y el 98).
Sumando estos dos, vuelve a dar 101.
—De esta forma, “apareando” los números así y sumándolos,
se tienen 50 pares de números cuya suma da 101. Luego, 50 veces
101 resulta en el número 5.050 que es lo que usted quería.
La anécdota termina aquí. El jovencito se llamaba Carl Friedrich
Gauss. Nació en Brunswick, el 30 de abril de 1777 y murió
en 1855 en Gottingen, Hanover, Alemania. Gauss es considerado
el “príncipe de la matemática” y fue uno de los mejores (si
no el mejor) de la historia.
La historia se sitúa alrededor
de 1784, en Brunswick, Alemania.
Una maestra de segundo grado de la escuela primaria (de nombre
Buttner, aunque los datos afirman que estaba acompañada por
un asistente, Martin Bartels también) estaba cansada del “lío” que
hacían los chicos, y para tenerlos quietos un poco, les dio el siguiente
problema: “calculen la suma de los primeros cien números”. La
idea era tenerlos callados durante un rato. El hecho es que un niño
levantó la mano casi inmediatamente, sin siquiera darle tiempo
a la maestra para que terminara de acomodarse en su silla.
—¿Sí? —preguntó la maestra mirando al niño.
—Ya está, señorita —respondió el pequeño—. El resultado es
5.050.
La maestra no podía creer lo que había escuchado, no porque
la respuesta fuera falsa, que no lo era, sino porque estaba desconcertada
ante la rapidez.
—¿Ya lo habías hecho antes? —preguntó.
—No, lo acabo de hacer.
Mientras tanto, los otros niños recién habían llegado a escribir
en el papel los primeros dígitos, y no entendían el intercambio
entre su compañero y la maestra.
—Vení y contanos a todos cómo lo hiciste.
El jovencito, se levantó de su asiento y sin llevar siquiera el
papel que tenía adelante se acercó humildemente hasta el pizarrón
y comenzó a escribir los números:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 96 + 97+ 98 + 99 + 100
—Bien —siguió el jovencito—. Lo que hice fue sumar el primero y el último número (o sea, el 1 y el 100). Esa suma da 101.
—Después, seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99).
Esta suma vuelve a dar 101.
—Luego, separé el tercero y el antepenúltimo (el 3 y el 98).
Sumando estos dos, vuelve a dar 101.
—De esta forma, “apareando” los números así y sumándolos,
se tienen 50 pares de números cuya suma da 101. Luego, 50 veces
101 resulta en el número 5.050 que es lo que usted quería.
La anécdota termina aquí. El jovencito se llamaba Carl Friedrich
Gauss. Nació en Brunswick, el 30 de abril de 1777 y murió
en 1855 en Gottingen, Hanover, Alemania. Gauss es considerado
el “príncipe de la matemática” y fue uno de los mejores (si
no el mejor) de la historia.
Los agujeros negros son los lugares del universo
en donde Dios dividió por cero.
STEVEN WRIGHT
en donde Dios dividió por cero.
STEVEN WRIGHT
Si no entendiste nada no te preocupes.. acá tenés algunos chistes para que no te vayas con las manos vacias..
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