¿Me creerías si te digo que, muy probablemente, tienes menos amigos que los que te rodean? ¿O que te tocará esperar más que al resto en la cola del bar, el super o la gasolinera? No es que seas gafe, no: es lo que debe ocurrirnos a todos, aunque parezca paradójico. Y hoy traigo la sencilla demostración matemática.
Piensa en un grupo de N personas: una clase de instituto o de la universidad, un equipo de fútbol, da igual.
Asumamos que el número de amigos que cada miembro del grupo tiene dentro de ese mismo grupo es un número al azar, por ejemplo, cualquier número entre 1 y 10 de forma que hay un 10% de probabilidades de que alguien tenga 1 amigo, otro 10% de que tenga 2, etc.
Con esa distribución tan "justa" e "igualitaria" del número de amigos, parecería lógico pensar que si cada uno comparáse el número de amigos con los de su entorno (con los de sus amigos), habrá aproximadamente un 50% de probabilidades de que tener más amigos que los demás y un 50% de tener menos.
Pues si tienes la paciencia de hacer el experimento, por ejemplo con tus contactos de Facebook o Tuenti, te llevarás una desagradable sorpresa: con muy alta probabilidad, ¡tendrás menos amigos que los demás!
Llamaré a esto (¿por qué no?) "la Paradoja de Forever Alone".
Pero naturalmente el tema no es nada nuevo. Ya fue publicado, por ejemplo, en un artículo de 1991 titulado "Why your friends have more friends than you" (pdf), y es una versión más de la paradoja del "tamaño de la clase", bautizada así en 1977.
Piensa en un grupo de N personas: una clase de instituto o de la universidad, un equipo de fútbol, da igual.
Asumamos que el número de amigos que cada miembro del grupo tiene dentro de ese mismo grupo es un número al azar, por ejemplo, cualquier número entre 1 y 10 de forma que hay un 10% de probabilidades de que alguien tenga 1 amigo, otro 10% de que tenga 2, etc.
Con esa distribución tan "justa" e "igualitaria" del número de amigos, parecería lógico pensar que si cada uno comparáse el número de amigos con los de su entorno (con los de sus amigos), habrá aproximadamente un 50% de probabilidades de que tener más amigos que los demás y un 50% de tener menos.
Pues si tienes la paciencia de hacer el experimento, por ejemplo con tus contactos de Facebook o Tuenti, te llevarás una desagradable sorpresa: con muy alta probabilidad, ¡tendrás menos amigos que los demás!
Llamaré a esto (¿por qué no?) "la Paradoja de Forever Alone".
Pero naturalmente el tema no es nada nuevo. Ya fue publicado, por ejemplo, en un artículo de 1991 titulado "Why your friends have more friends than you" (pdf), y es una versión más de la paradoja del "tamaño de la clase", bautizada así en 1977.
Empecemos numerando a cada miembro del grupo con la letra i, de forma que i puede valer i=1, i=2 etc... hasta i=N. Y al número de amigos que tiene el personaje i lo llamaremos ai.
Para verlo con un ejemplo, podemos dibujar un grupo de amigos en forma de grafo matemático, donde las líneas entre individuos (los arcos) indiquen que existe una relación de amistad:
Para verlo con un ejemplo, podemos dibujar un grupo de amigos en forma de grafo matemático, donde las líneas entre individuos (los arcos) indiquen que existe una relación de amistad:
Aquí tenemos N=9 individuos, y el número de amigos ai de cada uno será:
Para empezar, podemos preguntarnos cuál es el número medio de amigos en el conjunto del grupo. Este estadístico se llama media o esperanza matemática, y se escribe a¯, o como el operador E[ai] . La forma de calcularla seguro que todos la sabéis: se suman todos los valores y se divide por el número de valores. En nuestro ejemplo:
a¯^=E[ai]=1N∑i=19ai=1+3+1+5+2+1+1+2+29=189=2
Otro estadístico que nos hará falta después es la varianza σ2a, que nos dice cómo de dispersos están los valores de nuestra distribución: a menor valor, más cerca estarán todos los números de la media; a mayor valor, más diferencias habrá entre unos y otros.
Matemáticamente se define (para variables unidimensionales) como la esperanza de la diferencia al cuadrado de cada muestra con la media.
σ2a=E[(ai−a¯)2]
Lo único que tenemos que tener en cuenta cuando estimamos la varianza a partir de datos numéricos es que realmente no conocemos la media a¯, sino una estimación de ésta a¯^. Se puede demostrar que eso siempre hará que la varianza nos salga más pequeña de lo que realmente es, por lo que hay que corregir este sesgo dividiendo, no por el número de muestras N, sino por N−1:
σ2a^=E[(ai− a¯^)2]=19−1∑i=19(ai−a¯)=18[ (1−2)2+(3−2)2+(1−2)2+(5−2)2+(2−2)2+(1−2)2+(1−2)2+(2−2)2+(2−2)2] =1.75
Bien, volvamos ya a la cuestión central: ¿cuántos amigos tienen, de media, mis amigos?. Ese es el dato que queremos obtener para poder compararnos con ellos. Mirando el "grafo de amistades", cada individuo tendrá que sumar los arcos que salen de cada uno de sus amigos, sumarlos y dividirlos entre el número de amigos.
Llamaremos yi al número medio de amigos de los amigos del personaje i. Para nuestro ejemplo, nos quedaría:
a¯^=E[ai]=1N∑i=19ai=1+3+1+5+2+1+1+2+29=189=2
Otro estadístico que nos hará falta después es la varianza σ2a, que nos dice cómo de dispersos están los valores de nuestra distribución: a menor valor, más cerca estarán todos los números de la media; a mayor valor, más diferencias habrá entre unos y otros.
Matemáticamente se define (para variables unidimensionales) como la esperanza de la diferencia al cuadrado de cada muestra con la media.
σ2a=E[(ai−a¯)2]
Lo único que tenemos que tener en cuenta cuando estimamos la varianza a partir de datos numéricos es que realmente no conocemos la media a¯, sino una estimación de ésta a¯^. Se puede demostrar que eso siempre hará que la varianza nos salga más pequeña de lo que realmente es, por lo que hay que corregir este sesgo dividiendo, no por el número de muestras N, sino por N−1:
σ2a^=E[(ai− a¯^)2]=19−1∑i=19(ai−a¯)=18[ (1−2)2+(3−2)2+(1−2)2+(5−2)2+(2−2)2+(1−2)2+(1−2)2+(2−2)2+(2−2)2] =1.75
Bien, volvamos ya a la cuestión central: ¿cuántos amigos tienen, de media, mis amigos?. Ese es el dato que queremos obtener para poder compararnos con ellos. Mirando el "grafo de amistades", cada individuo tendrá que sumar los arcos que salen de cada uno de sus amigos, sumarlos y dividirlos entre el número de amigos.
Llamaremos yi al número medio de amigos de los amigos del personaje i. Para nuestro ejemplo, nos quedaría:
La última columna ya compara el numero de amigos de cada individuo con la media de sus amigos, y nos dice que ¡un 78% tiene menos amigos que su entorno!.
Veamos la demostración matemática de que esto no es casualidad ni fruto de usar un grafo de amigos trucado: siempre va a ocurrir que ese porcentaje será igual o mayor del 50%.
Un "individuo medio" tendrá que comparar la esperanza matemática de su número de amigos con la esperanza matemática del número de amigos de sus amigos. Es decir, el quid está en comparar las medias de ai y de yi.
Una forma sencilla de calcular la media de yi es dividiendo el "total de amigos de amigos" entre el "total de amigos". La primera cantidad se puede demostrar que es ∑Ni=1a2i ya que cada ai aparecerá sumando una vez por cada uno de sus enlaces (ésta es la clave de todo), es decir: ai veces. Y dado que el "total de amigos" es simplemente ∑Ni=1ai, podemos calcula la media buscada:
y¯=E[yi]=∑Ni=1a2i ∑Ni=1ai =E[a2i]a¯
Para interpretar mejor este resultado, usaremos la siguiente expresión alternativa de la varianza:
σ2a ===== E[(ai−a¯)2] E[a2i +a¯2−2 ai a¯ ] E[a2i ]+E[a¯2]−E[2 ai a¯ ] E[a2i ]+a¯2−2 a¯ E[ ai] E[a2i ]−a¯2
Sustituyendo arriba, llegamos a:
y¯=a¯2+σ2aa¯= a¯+σ2a¯
Vamos, que la media de los "amigos de mis amigos" es la media de amigos que tiene cualquier individuo... más otro término que depende de la varianza. Usando los números que sacamos arriba para el ejemplo, el número medio de amigos era de 2, mientras que el número medio de "amigos de amigos" sería de 2+1.75/2=2.875, claramente superior.
En otras palabras: si el individuo medio compara sus amigos a¯ con los de sus amigos, tendrá que comparar ese valor con y¯ y ¡siempre verá que su cifra es inferior! (la única excepción sería que todos tuvieran estrictamente idéntico número de amigos, con lo que la varianza se haría cero).
La demostración está muy bien, pero... ¿qué es lo que está pasando realmente?
Es fácil: un sesgo en el muestreo. Un observador externo que contara el número de amigos medio del total de la población y lo comparase con el de cada individuo, no observaría ninguna desviación con respecto a un lógico 50%/50% (si la distribución de amigos es simétrica, bla bla).
El truco de todo el asunto es que la pregunta "¿tengo más amigos que los demás?" se la hace cada uno, estimando los datos desde su punto de vista subjetivo y sin ver la imagen global. O dicho de otra forma: hay datos (el número de amigos de "los más populares" que serán contados muchas más veces sencillamente porque... ¡tienen muchos amigos en cuyos cálculos entran!
Todo esto tiene otra interpretación más bonita usando el concepto de distribución de masa de probabilidad (dmp). Llamemos P(n)=pn a la probabilidad (en el conjunto de la población) de que alguien tenga n amigos. Pues curiosamente, si alguien intenta, desde su punto de vista subjetivo estimar dicha función, obtendrá una versión muy sesgada:
P^(n)=p2n
Este problema se llamó en los años 70 el problema del "tamaño de la clase" porque explica que los alumnos, de media, tengan la sensación que les ha tocado las clases más abarrotadas. Si lo piensas, verás que tiene exactamente la misma razón que el problema de arriba.
Otro hecho curioso relacionado es el efecto "¿por qué siempre voy en el carril más lento?". Aparte del lógico sesgo psicológico de fijarnos más en todo lo malo que nos ocurre e ignorar lo bueno (o al menos, "no malo" en este caso de nuevo estamos muestreando una distribución de probabilidad (¿cuántos coches hay en fila?) desde un punto de vista subjetivo: por definición, en el carril lento habrá más coches, luego tengo más probabilidades de estar en él.
Veamos la demostración matemática de que esto no es casualidad ni fruto de usar un grafo de amigos trucado: siempre va a ocurrir que ese porcentaje será igual o mayor del 50%.
Un "individuo medio" tendrá que comparar la esperanza matemática de su número de amigos con la esperanza matemática del número de amigos de sus amigos. Es decir, el quid está en comparar las medias de ai y de yi.
Una forma sencilla de calcular la media de yi es dividiendo el "total de amigos de amigos" entre el "total de amigos". La primera cantidad se puede demostrar que es ∑Ni=1a2i ya que cada ai aparecerá sumando una vez por cada uno de sus enlaces (ésta es la clave de todo), es decir: ai veces. Y dado que el "total de amigos" es simplemente ∑Ni=1ai, podemos calcula la media buscada:
y¯=E[yi]=∑Ni=1a2i ∑Ni=1ai =E[a2i]a¯
Para interpretar mejor este resultado, usaremos la siguiente expresión alternativa de la varianza:
σ2a ===== E[(ai−a¯)2] E[a2i +a¯2−2 ai a¯ ] E[a2i ]+E[a¯2]−E[2 ai a¯ ] E[a2i ]+a¯2−2 a¯ E[ ai] E[a2i ]−a¯2
Sustituyendo arriba, llegamos a:
y¯=a¯2+σ2aa¯= a¯+σ2a¯
Vamos, que la media de los "amigos de mis amigos" es la media de amigos que tiene cualquier individuo... más otro término que depende de la varianza. Usando los números que sacamos arriba para el ejemplo, el número medio de amigos era de 2, mientras que el número medio de "amigos de amigos" sería de 2+1.75/2=2.875, claramente superior.
En otras palabras: si el individuo medio compara sus amigos a¯ con los de sus amigos, tendrá que comparar ese valor con y¯ y ¡siempre verá que su cifra es inferior! (la única excepción sería que todos tuvieran estrictamente idéntico número de amigos, con lo que la varianza se haría cero).
La demostración está muy bien, pero... ¿qué es lo que está pasando realmente?
Es fácil: un sesgo en el muestreo. Un observador externo que contara el número de amigos medio del total de la población y lo comparase con el de cada individuo, no observaría ninguna desviación con respecto a un lógico 50%/50% (si la distribución de amigos es simétrica, bla bla).
El truco de todo el asunto es que la pregunta "¿tengo más amigos que los demás?" se la hace cada uno, estimando los datos desde su punto de vista subjetivo y sin ver la imagen global. O dicho de otra forma: hay datos (el número de amigos de "los más populares" que serán contados muchas más veces sencillamente porque... ¡tienen muchos amigos en cuyos cálculos entran!
Todo esto tiene otra interpretación más bonita usando el concepto de distribución de masa de probabilidad (dmp). Llamemos P(n)=pn a la probabilidad (en el conjunto de la población) de que alguien tenga n amigos. Pues curiosamente, si alguien intenta, desde su punto de vista subjetivo estimar dicha función, obtendrá una versión muy sesgada:
P^(n)=p2n
Este problema se llamó en los años 70 el problema del "tamaño de la clase" porque explica que los alumnos, de media, tengan la sensación que les ha tocado las clases más abarrotadas. Si lo piensas, verás que tiene exactamente la misma razón que el problema de arriba.
Otro hecho curioso relacionado es el efecto "¿por qué siempre voy en el carril más lento?". Aparte del lógico sesgo psicológico de fijarnos más en todo lo malo que nos ocurre e ignorar lo bueno (o al menos, "no malo" en este caso de nuevo estamos muestreando una distribución de probabilidad (¿cuántos coches hay en fila?) desde un punto de vista subjetivo: por definición, en el carril lento habrá más coches, luego tengo más probabilidades de estar en él.
Así que, la próxima vez que vayas a quejarte porque "lo malo siempre me toca a mí", reflexiona un momento a ver si estás siendo víctima del sesgo de muestreo. Vale, no es que sea de mucho alivio, pero...
ALGUNAS FRASES DEL "FOREVER ALONE"
Soy tan Forever Alone que ni la muerte toca a mi puerta
La ultima vez que estuve dentro de una mujer fue cuando visite la Estatua de la Libertad
1. Naces 2. Creces 3. Besas a la almohada 4. Eres Forever alone 5. Mueres solo
Mientras tu me ignoras el jabon recorre todo mi cuerpo
Mi vida sexual como la Coca-Cola, primero era normal, después light y ahora zero
Dicen que el amor esta en cada esquina, mi vida es un circulo
Para que enamorarse si es mas divertido comer y dormir?
Mientras tu me ignoras, las otras nisiquiera saben de mi existencia
Mientras tu y tu novia se besan bajo la lluvia, yo corro a recoger la ropa
Mientras tu me ignoras.. Otros tambien lo hacen
Todos dicen que el amor llega solo, pero en mi caso creo no sabe donde vivo
El amor toco a mi puerta y me dejo una nota que decia: Sigue participando
La ultima vez que alguien me quiso dar... fue en adopcion
Mi novia y yo somos muy diferentes... Yo si existo, ella no
Mientras tu me ignoras, Dora la exploradora no para de hacerme preguntas
Soy tan Forever alone que al único que le importa mi corazón es al cardiólogo
Este fin de semana quiero que sea diferente!..... mmm ya se! Cambiare mi PC de lugar!!
Mi vida amorosa es magica... Nada por aqui, nada por alla
Los dos estamos muy enamorados!! Yo de ella y ella de otro
En mi tumba pondré WiFi gratis para ver si alguien me visita
No, yo no estoy soltero, estoy en una larga relación a distancia porque mi novia vive en el futuro
Si un dia sientes que nadie te extraña... Ve a la gasolinera!! Ahí siempre te echan de menos
Soy tan Forever alone que veo peliculas de terror solo para sentir que alguien me sigue
Hasta los cromosomas tienen pareja
Soy tan Forever alone que mis amigos imaginarios hicieron una fiesta y no me invitaron
Mientras tu me ignoras el microondas me calienta todo lo que quiero, cuando quiero y como quiero
Mientras tu me ignoras yo trato de explicarle a mi perro que mi pierna lo quiere solo como amigo
Para mi el amor es como el dinero... No tengo!
Una vez casi pierdo la virginidad, pero no me alcanzo el dinero
No soy Forever alone, simplemente me la llevo mejor conmigo mismo
Me gusta andar en barrios peligrosos para que alguien me pida mi celular
La ultima vez que estuve dentro de una mujer fue cuando visite la Estatua de la Libertad
1. Naces 2. Creces 3. Besas a la almohada 4. Eres Forever alone 5. Mueres solo
Mientras tu me ignoras el jabon recorre todo mi cuerpo
Mi vida sexual como la Coca-Cola, primero era normal, después light y ahora zero
Dicen que el amor esta en cada esquina, mi vida es un circulo
Para que enamorarse si es mas divertido comer y dormir?
Mientras tu me ignoras, las otras nisiquiera saben de mi existencia
Mientras tu y tu novia se besan bajo la lluvia, yo corro a recoger la ropa
Mientras tu me ignoras.. Otros tambien lo hacen
Todos dicen que el amor llega solo, pero en mi caso creo no sabe donde vivo
El amor toco a mi puerta y me dejo una nota que decia: Sigue participando
La ultima vez que alguien me quiso dar... fue en adopcion
Mi novia y yo somos muy diferentes... Yo si existo, ella no
Mientras tu me ignoras, Dora la exploradora no para de hacerme preguntas
Soy tan Forever alone que al único que le importa mi corazón es al cardiólogo
Este fin de semana quiero que sea diferente!..... mmm ya se! Cambiare mi PC de lugar!!
Mi vida amorosa es magica... Nada por aqui, nada por alla
Los dos estamos muy enamorados!! Yo de ella y ella de otro
En mi tumba pondré WiFi gratis para ver si alguien me visita
No, yo no estoy soltero, estoy en una larga relación a distancia porque mi novia vive en el futuro
Si un dia sientes que nadie te extraña... Ve a la gasolinera!! Ahí siempre te echan de menos
Soy tan Forever alone que veo peliculas de terror solo para sentir que alguien me sigue
Hasta los cromosomas tienen pareja
Soy tan Forever alone que mis amigos imaginarios hicieron una fiesta y no me invitaron
Mientras tu me ignoras el microondas me calienta todo lo que quiero, cuando quiero y como quiero
Mientras tu me ignoras yo trato de explicarle a mi perro que mi pierna lo quiere solo como amigo
Para mi el amor es como el dinero... No tengo!
Una vez casi pierdo la virginidad, pero no me alcanzo el dinero
No soy Forever alone, simplemente me la llevo mejor conmigo mismo
Me gusta andar en barrios peligrosos para que alguien me pida mi celular
LETRA
Me levanto a la mañana y arranco para la escuela,
veo a la chica de mis sueños, el momento es tan bello.
Pero miro de reojo y es ahí donde lo veo,
está tomada de la mano con el tipo más feo...
Y así supe que siempre seré...
Un forever alone,
un forever alone.
Ya es re viernes, ya es de noche, ya escape de laburar,
voy a disfrutar el finde y voy a hacerlo de verdad.
Hablo con los pibes, tambien con las pibas.
Y ocurrió lo inesperado, estaban todos ocupados.
Y así supe que siempre seré...
Un forever alone, en Taringa!
Un forever alone, en Taringa!
Un forever alone, en Taringa!
Un forever alone, un forever alone...
veo a la chica de mis sueños, el momento es tan bello.
Pero miro de reojo y es ahí donde lo veo,
está tomada de la mano con el tipo más feo...
Y así supe que siempre seré...
Un forever alone,
un forever alone.
Ya es re viernes, ya es de noche, ya escape de laburar,
voy a disfrutar el finde y voy a hacerlo de verdad.
Hablo con los pibes, tambien con las pibas.
Y ocurrió lo inesperado, estaban todos ocupados.
Y así supe que siempre seré...
Un forever alone, en Taringa!
Un forever alone, en Taringa!
Un forever alone, en Taringa!
Un forever alone, un forever alone...
SOLO PARA FOREVER ALONE
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¿Cómo dibujar a Forever Alone?
HASTA AQUI EL POST , GRACIAS POR TU VISITA Y RECORDAD SOMOS FOREVERALONE SOMOS LEGION!!!