Álgebra Lineal:
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un vector de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones.
Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma el espacio vectorial
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio y (6,-1,0,2,4) es un elemento de En particular, corresponde a un plano cartesiano y es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
Para sumar dos vectores en se suman las coordenadas en posiciones corre por la regla:
La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar) junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo).
Las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el álgebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u,v y todo escalar r:
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que y son las matrices del tamaño
Nota: En álgebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en vez de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices.
El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
Espacios vectoriales de uso común:
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en R^n
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R^2 , que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Matrices mxn
Está formado por las arreglos numéricos, cuyas dimensiones se representan m filas por n columnas. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el algebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
Ejemplos de tales polinomios son:
Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.
* r = r' Sistema Compatible.
o r = r'= n Sistema Compatible Determinado.
o r = r'≠ n Sistema Compatible Indeterminado.
* r ≠ r' Sistema Incompatible.
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
r(A) = 3
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
r(A') = 3
Aplicamos el teorema de Rouché:
Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer o por el método de Gauss
Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos:
Análisis Matemático:
El análisis es una rama de la ciencia matemática que estudia los números reales, los complejos, los vectores y sus funciones. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.
El estudio del conjunto de Mandelbrot que es un objeto fractal con autosimilaridad estadística involucra diversas áreas del análisis matemático, el análisis de la convergencia, la teoría de la medida, la geometría y la teoría de la probabilidad y la estadística.
Historia:
Historia
Matemáticos griegos como Eudoxo de Cnidos y Arquímedes hicieron un uso informal de los conceptos de límite y convergencia cuando usaron el método de exhausción para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. De hecho, el número π fue aproximado usando el método de exhausción. En la India del siglo XII el matemático Bhaskara concibió elementos del cálculo diferencial, así como el concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de Rolle.
En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava, en el Sur de Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la expansión de series infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional de series infinitas. Además desarrolló las series de Taylor de funciones trigonométricas —seno, coseno, tangente—, y estimó la magnitud de los errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló fracciones continuas infinitas, integración término a término, y las serie de potencias de pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el siglo XVI.
El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Este último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos más tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos. En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto la geometría analítica1 como el análisis matemático.2 En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.
A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX, Cauchy fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de sucesión de Cauchy. También inició la teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.
Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ de límite. Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind entonces construye los números reales mediante las cortaduras de Dedekind. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos de discontinuidad de funciones reales.
También, funciones «monstruos» (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto, Curva que llena el espacio, Curva de Peano) comenzaron a surgir. En este contexto Jordan desarrolló su teoría de medida, Cantor lo hizo con lo que ahora se llama teoría de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando la teoría de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Banach crea el Análisis funcional.
Geometría analítica:
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).
Localización de un punto en el plano cartesiano
Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesinao mediante sus pares de coordenadas.
En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.
La ecuación general de la recta es de la forma:
Ax+By+C=0 ,
cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.
Una recta en el plano se representa con la función polinómica de primer grado de la forma:
y = m x + b ,
Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:
Rectas oblicuas:
Rectas horizontales:
Rectas verticales:
* Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto (x0,0). La ecuación de dichas rectas es:
x = x_0 ,
* Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0,y0). La ecuación de dichas rectas es:
y = y_0 ,
* Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el eje de ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el b se denomina ordenada en el origen.
Desde el punto de vista de la clasificación de Klein de las geometrías (el Programa de Erlangen), la geometría analítica no es una geometría propiamente dicha.
Desde el punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente indispensable entre la geometría euclidiana y otras ramas de la matemática y de la propia geometría, como son el propio análisis matemático, el álgebra lineal, la geometría afín, la geometría diferencial o la geometría algebraica.
Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.
El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica". El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva—, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.
La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de la geometría analítica.
Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisis-síntesis.
Actualmente el término geometría analítica sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras técnicas en las que no se realiza un estudio profundo de la geometría.