La física de la música

¿Os habéis preguntado alguna vez por qué hay determinadas mezclas de tonos que resultan agradables, casi naturales, mientras que otras parecen ruido? Independientemente de los gustos musicales, si escuchamos un acorde formado por do, mi y sol, percibiremos una sensación de unidad, de armonía, mientras que un acorde formado por do, do# y re nos resultará extraño, casi desagradable. Uno puede pensar que se debe a que nuestro oído está acostumbrado a determinados sonidos, debido al entorno en el que nos hemos educado. Sin embargo, hay un motivo perfectamente objetivo para ello: la física. Tonos y frecuencias Como todos sabréis, el sonido no es más que una ónda mecánica, que se transmite por el aire u otros medios, hasta llegar a nuestros oídos. En el caso de una nota musical, dicha onda es periódica. Un tono puro corresponde a una onda senoidal, es decir, una función del tipo f(t) = A sen(2 π f t), donde A es la amplitud, t es el tiempo y f la frecuencia. En el mundo real no existen tonos puros, pero cualquier onda periódica se pueden extresar como suma de tonos puros de distintas frecuencias. Así, si quisiéramos modelar matemáticamente un tono real, tendríamos una función que sería la suma de varios senos (matemáticos ¿eh?). Existiría una frecuencia fundamental (la de mayor amplitud), y varias frecuencias múltiplos de la fundamental, llamados armónicos. Las frecuencias de estos armónicos son un múltiplo entero de la principal. La serie armónica Bien, imaginemos un momento que tenemos un instrumento musical perfecto, que al sonar genera tonos puros. Si duplicamos la frecuencia de un tono, tenemos la misma nota en la octava superior, y si dividimos entre dos, tenemos la misma nota en la octava inferior. Es decir, si duplicamos la frecuencia del do central, obtenemos el do de la siguiente octava. Si triplicamos la frecuencia, obtenemos lo que se llama quinta perfecta (en la siguiente octava; si queremos permanecer en la misma, debemos multiplicar por 3/2), que en el caso de partir de un do, corresponde a la nota sol. Si cuadruplicamos la frecuencia, estamos multiplicando por dos, dos veces, es decir, estamos subiendo dos octavas, así que tenemos otro do. Si quintuplicamos la frecuencia, obtenemos la llamada tercera mayor (dos octavas por encima; si queremos permanecer en la misma octava, hay que multiplicar por 5/4), es decir, un mi. Si multiplicamos por seis, estamos multiplicando por dos y por tres, es decir, tenemos otra vez la quinta perfecta. Detengámonos aquí un momento, y quedémonos con los múltiplos 4, 5 y 6. Tenemos la sucesión do, mi, sol, en la misma octava, que es un acorde Do Mayor. Por tanto, en un acorde mayor, las frecuencias de las notas corresponden a los armónicos 4, 5 y 6 de la frecuencia correspondiente a la nota principal de dos octavas más abajo. Eso quiere decir que si tocamos un do con un instrumento real (es decir, que no genere tonos puros), ese sonido tiene entre sus frecuencias, las de un acorde Do Mayor de dos octavas por encima. Si tocamos un acorde mayor cualquiera, las tres notas tendrán armónicos comunes, de forma que sonará como si de un todo homogéneo se tratase. Si seguimos multiplicando y calculando armónicos, obtenemos la escala musical. Así, si multiplicamos la frecuencia por 8 (olvidémonos del 7, ya veréis por qué), tenemos nuevamente la misma nota, 3 octavas por encima. Si multiplicamos por 9, obtenemos la llamada segunda mayor (3 octavas por encima), que corresponde a un re. Vemos además que 9 es 3 por 3, es decir, sería la quinta de la quinta, y efectivamente, re es la quinta perfecta de sol (que es la quinta perfecta de do). Si multiplicamos por 10, tenemos otra vez la tercera (estamos multiplicando por 5 y por 2), es decir, un mi. Si multiplicamos por 11 tenemos el fa (con matices, ya lo explicaré). Por 12, nuevamente el sol (12=4×3). Por 13, tenemos un la (otra vez con algo que comentar). Y por 15, dado que es 3×5, tenemos la tercera de la quinta, un si (la quinta de do es sol, y la tercera de sol es si). Esto es lo que se conoce como serie armónica, y la frecuencia de las notas, en su relación con la primera, queda de la siquiente forma: Afinación natural Habéis visto que me he saltado los armónicos 7 y 14. ¿Por qué? ¿Hay algo malo con el 7? Lo que ocurre es que la escala musical que conocemos (escala diatónica), en realidad se obtuvo de otra manera. Veréis, la quinta perfecta se llama también dominante. Fijáos que es el primer armónico que nos aparece, que corresponde a otra nota (3/2). Si obtenemos los primeros armónicos de ésta, debemos multiplicar la dominante por 3/2 y por 5/4. La quinta de sol es re, y la tercera es si. Sus relaciones con do serían de 9/8 y 10/8 rescepcivamente. Bueno, hasta ahora nada nuevo, ya que es igual que la serie armónica. Pero ahora hagámoslo a la inversa. Al igual que sol es la quinta de do, do es la quinta de otra nota. Dado que la quinta es la donimante, esa otra nota de la que la principal sería quinta, se llama subdominante. Do es la quinta de fa, por lo que fa es la subdominante de do. Para llegar de fa a do, habría que multiplicar por 3/2 por lo que para llegar desde do a fa, habría que multiplicar por su inversa: 2/3. Esta nota estaría una octava por debajo, por lo que si queremos mantenernos en la misma octava, multiplicamos por 4/3. Partamos de fa y obtengamos sus primeros armónicos, es decir, su quinta y su tercera. La quinta ya sabemos cuál es (do). La tercera sería la, y recordemos que se obtiene multiplicando por 5/2. Si queremos llegar desde do, multiplicaríamos por 2/3 (fa) y después por 5/2, es decir, estamos multiplicando por 5/3. Esta afinación es la que se ha utilizado en Europa durante siglos, y la frecuencia de las notas, en su relación con la primera, queda de la siquiente forma: Fijáos en la diferencia que hay con la serie armónica, en las notas fa y la. Escalas diatónica y cromática Obteniendo las notas musicales de esta última forma, uno se explica muchas cosas, que de otro modo parecerían arbitrarias, como el hecho de que en nuestra escala tengamos 7 notas. Vamos a calcular ahora la relación de frecuencias entre cada nota consecutiva. Entre do y re, es evidente que hay una relación de 9/8. Recordando cómo dividir fracciones, vemos que sucede lo mismo entre fa y sol, y también entre la y si. Sin embargo, entre re y mi tenemos una relación de 10/9, la misma que entre sol y la. En realidad, la diferencia es muy pequeña, ya que 9/8 es 1,125, y 10/9 es 1,111… (con infinitos decimales). Pero veamos qué ocurre entre mi y fa. La relación entre estas dos notas es de 16/15, la misma que la existente entre si y el do de la siguiente octava (dividimos 2 entre 15/8). Esta relación si es bastante distinta, ya que 16/15 = 1,0666… Pues bien, dos notas con una relación de frecuencias de 9/8, se dice que están separadas un tono. Y dos notas con una relación de 16/15, están separadas un semitono. Vemos pues que en nuestra escala musical de 7 notas, hay cinco intervalos de un tono, y dos (incluyendo el do de la siguiente octava) de un semitono. Una escala de este tipo, se denomina escala diatónica. Puesto que hemos definino lo que es un tono y un semitono, podemos definir notas intermedias entre las que están separadas un tono entre sí, de forma que haya un semitono entre la anterior y la posterior. Es decir, podemos buscar una nota entre do y re, de forma que haya un semitono de separación entre ambas. Esa nota sería do# (do sostenido) o re♭ (re bemol), aunque hay que hacer notar que en algunos sistemas, existe una sutil diferencia entre ambas. Tenemos estas notas “intermedias” entre todas las “naturales”, salvo entre mi y fa, y si y do, puesto que entre estas notas la diferencia ya es de un semitono. Si miramos detenidamente el teclado de un piano, observaremos que hay teclas blancas y teclas negras. Las teclas blancas corresponden a las notas naturales (las 7 notas que todos conocemos), y las negras corresponden a estas notas intermedias. Veremos que entre dos teclas blancas hay una negra, excepto entre mi y fa, y entre si y do. Si consideramos estas notas intermedias como “igual de importantes” que las otras, tenemos entonces una escala formada por 12 intervalos de un semitono de separación. Es lo que se conoce como escala cromática. Es fácil darse cuenta que la escala diatónica es un caso particular de la cromática, en el que hemos “despreciado” algunas notas. Temperamento justo o igual Utilizando el sistema descrito, tenemos un problema a la hora de cambiar la tonalidad de una melodía. Hemos visto que la relación entre una nota y su segunda mayor es 9/8, y corresponde a una diferencia de un tono. La relación entre una nota y su tercera mayor es de 5/4. ¿Qué pasa si quiero subir un tono, toda una melodía?. Pues que el do pasaría a ser re, el re sería mi, y así sucesivamente. Para ello, se multiplicarían todas las frecuencias por 9/8. Pero la relación entre do y mi es de 5/4. Y si multiplicamos por 9/8 dos veces, tenemos 81/64, que no es 5/4. Es decir, no tocaríamos realmente el mismo mi. Esto no sería problema en instrumentos como el violín, donde podemos obtener la frecuencia que queramos poniendo el dedo en el sitio justo, pero sí lo es para instrumentos que sólo pueden emitir un número “fijo” (discreto) de frecuencias, como el piano (cada cuerda es una nota) o la guitarra (las frecuencias viene dada por la posición de los trastes). Utilizando esta escala, no podríamos subir o bajar el tono de una melodía sin alterarla. Para solucionar este problema, se creo la escala temperada (concretamente, con temperamento justo, ya que hay otras variantes). Sabemos que en la escala cromática tenemos 12 intervalos de un semitono de diferencia, pero que en realidad, estos intervalos no son completamente iguales. La idea es hacer precisamente que los 12 intervalos sean idénticos. Teniendo en cuenta que si subimos 12 semitonos, llegaremos a la misma nota de la siguiente octava, y que el subir de octava significa multiplicar por 2 la frecuencia, es fácil darse cuenta de que la relación de frecuencias entre un semitono y el siguiente debe ser un número que multiplicado por sí mismo 12 veces, nos de 2. Y ese número es la raíz doceava de 2 (21/12). Con este sistema, la relación entre dos notas con un tono de diferencia es de raíz doceava de dos al cuadrado (22/12), que aunque no es exactamente 9/8, la diferencia (0,003) es casi inapreciable para el oído humano (sobre todo en mitad de una composición). Otro ejemplo: la quinta perfecta correspondería a raíz doceava de dos a la séptima (27/12). La diferencia entre 3/2 y 27/12 es de 0,0017. La fundamental Hasta ahora no he hecho más que hablar de relaciones entre frecuencias, pero ¿de dónde partimos? En algún punto tendremos que definir una frecuencia concreta, y obtener el resto de las notas a partir de ahí. Pues bien, ese punto es el llamado la fundamental, que es el la inmediatamente posterior al llamado do central (en un piano, es el do que está hacia la mitad del teclado). Su afinación ha ido variando a lo largo de la historia, pero en la actualidad, esa nota corresponde exactamente a 440 Hz. Esta frecuencia es precisamente la que emite un diapasón al ser golpeado. Y a partir de esta frecuencia, se obtienen todas las demás notas. Conclusión Así que vemos que todo se reduce a una cuestión de frecuencias y relaciones entre ellas. Física y matemáticas. Y todo partiendo del fenómeno físico que son los armónicos. Arte y ciencia mezclados. Curioso ¿verdad?