Aunque hay infinidad de estrategias para el Cálculo Mental, únicamente veremos aquellas que consideramos más útiles y sencillas, y que básicamente consisten en descomponer o reagrupar los números de tal manera que el cálculo nos resulte más fácil.
Estrategias para las Sumas
Antes de empezar con las sumas de Cálculo Mental es conveniente saber bien la secuencia contadora ascendente (de 2 en 2, de 3 en 3) y las combinaciones básicas que suman 10 (1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5), y recordar que la suma cumple las propiedades conmutativa y asociativa.
Propiedad conmutativa:
Si se cambia el orden de los sumandos no varía el resultado. 1 + 3 + 5 = 5 + 3 + 1 = 9.
Propiedad asociativa:
Cuando se suman tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de como se agrupen.
(2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6) = 6 + 6 = 2 + 10 = 12.
(2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6) = 6 + 6 = 2 + 10 = 12.
Estrategias más útiles
Descomposición de números de una cifra buscando el 10.
8+7 = 8 + 2+5 = (8+2) + 5 = 15
9+4 = 9 + 1+3 = (9+1) + 3 = 13
7+5 = 7 + 3+2 = (7+3) + 2 = 12
9+4 = 9 + 1+3 = (9+1) + 3 = 13
7+5 = 7 + 3+2 = (7+3) + 2 = 12
Para sumar varios números de una cifra resulta muy práctico agrupar las parejas que suman 10.
9+4+5+1+6 = (9+1) + (4+6) + 5 = 25
7+6+8+3+2 = (7+3) + (8+2) + 6 = 26
7+6+8+3+2 = (7+3) + (8+2) + 6 = 26
Para números de 2 cifras o más, realizar la suma de izquierda a derecha suele resultar más fácil, pues no tenemos que recordar las unidades.
123+42+14 = 100 + 20+40+10 + 3+2+4 = 179
431+125+12 = 400+100 + 30+20+10 + 1+5+2 = 568
431+125+12 = 400+100 + 30+20+10 + 1+5+2 = 568
Descomposición buscando la decena más próxima.
36+5 = 36 + 4+1 = (36+4) + 1 = 41
77+16 = 77 + 3+13 = (77+3) + 13 = 93
95+17 = 95 + 5+12 = (95+5) + 12 = 112
77+16 = 77 + 3+13 = (77+3) + 13 = 93
95+17 = 95 + 5+12 = (95+5) + 12 = 112
Para sumar 8, resulta muy práctico sumar 10 y restar 2, ya que 8 = 10-2.
223+8 = 223 + 10-2 = (223+10) - 2 = 231
475+8 = 475 + 10-2 = (475+10) - 2 = 483
475+8 = 475 + 10-2 = (475+10) - 2 = 483
Para sumar 9, resulta muy práctico sumar 10 y restar 1, ya que 9 = 10-1.
147+9 = 147 + 10-1 = (147+10) - 1 = 156
236+9 = 236 + 10-1 = (236+10) - 1 = 245
236+9 = 236 + 10-1 = (236+10) - 1 = 245
Para sumar 18, es muy práctico sumar 20 y restar 2, ya que 18 = 20-2.
356+18 = 356 + 20-2 = (356+20) - 2 = 374
648+18 = 648 + 20-2 = (648+20) - 2 = 666
648+18 = 648 + 20-2 = (648+20) - 2 = 666
Para sumar 19, es muy práctico sumar 20 y restar 1, ya que 19 = 20-1.
754+19 = 754 + 20-1 = (754+20) - 1 = 773
552+19 = 552 + 20-1 = (552+20) - 1 = 571
552+19 = 552 + 20-1 = (552+20) - 1 = 571
También podemos utilizar este “truco” para 180 = 200 - 20, (sumar 200 y restar 20) ó 190 = 200 - 10, (sumar 200 y restar 10).
345+180 = 345 + 200-20 = (345+200) - 20 = 525
678+190 = 678 + 200-10 = (678+200) - 10 = 868
678+190 = 678 + 200-10 = (678+200) - 10 = 868
Estrategias para las Restas
Para las restas de Cálculo Mental es conveniente saber bien la secuencia contadora descendente (de 2 en 2, de 3 en 3), el concepto de lo que le falta a un número para ser igual a otro y conocer los números negativos.
Estrategias más útiles
Para restas con números pequeños, es preferible calcular lo que le falta al sustraendo para "llegar" al minuendo.
9 - 3 = 6; al 3 le faltan 6 para llegar al 9
12 - 5 = 7; al 5 le faltan 7 para llegar al 12
12 - 5 = 7; al 5 le faltan 7 para llegar al 12
Si las cifras del minuendo son mayores que las correspondientes del substraendo, realizar la resta de izquierda a derecha puede resultar más fácil.
87 - 24 = 80 - 20 + 7 - 4 = 63
365 - 242 = 300 - 200 + 60 - 40 + 5 - 2 = 123
876 - 531 = 800 - 500 + 70 - 30 + 6 - 1 = 345
365 - 242 = 300 - 200 + 60 - 40 + 5 - 2 = 123
876 - 531 = 800 - 500 + 70 - 30 + 6 - 1 = 345
Para Restar 9, es mejor restar 10 y sumar 1, puesto que (-9 = -10+1).
47 - 9 = 47 - 10+1 = (47-10) + 1 = 38
236 - 9 = 236 - 10+1 = (236-10) + 1 = 227
236 - 9 = 236 - 10+1 = (236-10) + 1 = 227
Para restar 8, es más práctico restar 10 y sumar 2, ya que (-8 = -10+2).
23 - 8 = 23 - 10+2 = (23-10) + 2 = 15
654 - 8 = 654 - 10+2 = (654-10) + 2 = 646
654 - 8 = 654 - 10+2 = (654-10) + 2 = 646
Para Restar 19, es mejor restar 20 y sumar 1, puesto que (-19 = -20+1).
54 - 19 = 54 - 20+1 = (54-20) + 1 = 35
262 - 19 = 262 - 20+1 = (262-20) + 1 = 243
262 - 19 = 262 - 20+1 = (262-20) + 1 = 243
Para Restar 18, es mejor restar 20 y sumar 2, puesto que (-18 = - 20+2).
87 - 18 = 87 - 20+2 = (87-20) + 2 = 69
931 - 18 = 931 - 20+2 = (931-20) + 2 = 913
931 - 18 = 931 - 20+2 = (931-20) + 2 = 913
También podemos utilizar este “truco” para restar 190: (-190 = -200+10), y para restar 180: (-180 = -200+20).
672 - 190 = 672 - 200+10 = (672-200) + 10 = 482
350 - 180 = 350 - 200+20 = (350-200) + 20 = 170
350 - 180 = 350 - 200+20 = (350-200) + 20 = 170
Estrategias para las Multiplicaciones
La multiplicación es la operación por excelencia para el Cálculo Mental. Antes de empezar con las multiplicaciones de Cálculo Mental es conveniente saber bien las Tablas de Multiplicar y recordar que la multiplicación cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva respecto a la suma y la resta.
Propiedad conmutativa:
Si se cambia el orden de los factores no varía el producto. 2 x 3 x 5 = 5 x 3 x 2 = 30.
Propiedad asociativa:
Cuando se multiplican tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de como se agrupen los factores.
(2 x 4) x 6 = 2 x (4 x 6) = 8 x 6 = 2 x 24 = 48.
(2 x 4) x 6 = 2 x (4 x 6) = 8 x 6 = 2 x 24 = 48.
Propiedad distributiva:
La suma o resta de varios números multiplicada por otro número es igual a la suma o resta de los productos de cada término multiplicado por el otro número.
(3 + 4 - 5) x 2 = (3 x 2) + (4 x 2) - (5 x 2) = 6 + 8 - 10 = 4.
(3 + 4 - 5) x 2 = (3 x 2) + (4 x 2) - (5 x 2) = 6 + 8 - 10 = 4.
Estrategias más útiles
En las multiplicaciones con varios factores es conveniente, cuando sea posible, recolocar los factores para encontrar productos más sencillos.
5 x 7 x 2 = 5 x 2 x 7 = 10 x 7 = 70
25 x 9 x 4 = 25 x 4 x 9 = 100 x 9 = 900
25 x 9 x 4 = 25 x 4 x 9 = 100 x 9 = 900
Descomponer los factores en sumas o restas y después de hacer las multiplicaciones parciales, sumar o restar los productos obtenidos.
56 x 7 = (50 + 6) x 7 = 50 x 7 + 6 x 7 = 350 + 42 = 392
39 x 8 = (40 – 1) x 8 = 40 x 8 – 1 x 8 = 320 – 8 = 312
39 x 8 = (40 – 1) x 8 = 40 x 8 – 1 x 8 = 320 – 8 = 312
Multiplicar un número por 5 (10 : 2) es lo mismo que multiplicar por 10 (añadir un cero al número dado) y dividir por 2 (calcular su mitad).
27 x 5 = 27 x (10 : 2) = 270 : 2 = 135
483 x 5 = 483 x (10 : 2) = 4830 : 2 = 2415
483 x 5 = 483 x (10 : 2) = 4830 : 2 = 2415
La multiplicación por 5, también puede hacerse calculando primero la mitad del número dado (dividir por 2) y después añadir un cero (multiplicar por 10).
28 x 5 = (28 : 2) x 10 = 14 x 10 = 140
356 x 5 = (356 : 2) x 10 = 178 x 10 = 1780
356 x 5 = (356 : 2) x 10 = 178 x 10 = 1780
Multiplicar un número por 9 (10-1) es lo mismo que multiplicar por 10 (añadir un cero) y restar el número.
78 x 9 = 78 x 10 - 78 = 780 - 78 = 702
125 x 9 = 125 x 10 - 125 = 1250 - 125 = 1125
125 x 9 = 125 x 10 - 125 = 1250 - 125 = 1125
Para multiplicar un número de dos cifras por 11 podemos aplicar una estrategia interesante. Supongamos que nos piden calcular 62 x 11. Para ello imaginamos el número dejando un espacio entre los dos dígitos (6 ___ 2), y en ese espacio ponemos la suma de los dos dígitos (6+2=8).
Por tanto 62 x 11 = 682.
Por tanto 62 x 11 = 682.
34 x 11 = 3 ( 3+4 ) 4 = 374
53 x 11 = 5 ( 5+3 ) 3 = 583
53 x 11 = 5 ( 5+3 ) 3 = 583
Si la suma de los dos dígitos es mayor de 9, por ejemplo en el caso de
75 x 11 = 7 7+5 5 = 7 12 5 (dejamos el 2 en el espacio en blanco, y el 1 lo sumamos al 7) = (7+1) 2 5 = 825. .
75 x 11 = 7 7+5 5 = 7 12 5 (dejamos el 2 en el espacio en blanco, y el 1 lo sumamos al 7) = (7+1) 2 5 = 825. .
89 x 11 = 8 ( 8+9 ) 9 = 8 17 9 = (8+1) 7 9 = 979
56 x 11 = 5 ( 5+6 ) 6 = 5 11 6 = (5+1) 1 6 = 616
Para multiplicar un número de más de dos cifras por 11, el procedimiento es parecido al anterior. Los números de las esquinas se quedan igual, y en el centro vamos poniendo las sumas de los pares de números adyacentes.
234 x 11 = 2 ( 2+3 ) ( 3+4 ) 4 = 2574
5324 x 11 = 5 ( 5+3 ) ( 3+2 ) ( 2+4 ) 4 = 58564
5324 x 11 = 5 ( 5+3 ) ( 3+2 ) ( 2+4 ) 4 = 58564
Si alguna de las sumas es mayor de 9 (de dos cifras), escribimos el dígito de las unidades y el 1 lo sumamos al número de la izquierda.
348 x 11 = 3( 3+4 )( 4+8 )8 = 3(7)(12)8 = 3(7+1)28 = 3828
763 x 11 = 7( 7+6 )( 6+3 )3 = 7(13)(9)3 = (7+1)393 = 8393
Multiplicar un número por 12 (10+2) es lo mismo que multiplicar el número por 10 (añadir un cero) y sumar el doble del número (multiplicarlo por 2).
8 x 12 = 8 x (10+2) = (8x10) + (8x2) = 80 + 16 = 96
35 x 12 = 35 x (10+2) = (35x10) + (35x2) = 350 + 70 = 420.
Multiplicar un número por 15 (10+5) es lo mismo que multiplicar el número por 10 (añadir un cero) y sumar la mitad de la multiplicación anterior.
7 x 15 = (7 x 10) + (7 x 5) = 70 + 35 = 105
48 x 15 = (48 x 10) + (48 x 5) = 480 + 240 = 720.
48 x 15 = (48 x 10) + (48 x 5) = 480 + 240 = 720.
Para multiplicar números de dos cifras inferiores a 20, podemos aplicar un truco que parece complicado pero da buenos resultados.
Por ejemplo, para multiplicar 18 x 14, procedemos como sigue: - Al primer número se suman las unidades del segundo: (18 + 4 = 22) y lo multiplicamos por 10, (añadimos un 0): 220 - A este resultado se le suma el producto de las unidades de los números: (8 x 4) = 32 y nos queda220 + 32 = 252.
Por ejemplo, para multiplicar 18 x 14, procedemos como sigue: - Al primer número se suman las unidades del segundo: (18 + 4 = 22) y lo multiplicamos por 10, (añadimos un 0): 220 - A este resultado se le suma el producto de las unidades de los números: (8 x 4) = 32 y nos queda220 + 32 = 252.
12 x 16 = (12 + 6) x 10 + (2 x 6) = 180 + 12 = 192
13 x 17 = (13 + 7) x 10 + (3 x 7) = 200 + 21 = 221.
13 x 17 = (13 + 7) x 10 + (3 x 7) = 200 + 21 = 221.
Estrategias para las Divisiones
Para las Divisiones, como operación inversa de la multiplicación, es conveniente saber bien las Tablas de Multiplicar y recordar que las divisiones no siempre son exactas, que 0 dividido entre cualquier número da siempre 0 y que no se puede dividir a un número por 0.
Estrategias más útiles
Para dividir un número entre una potencia de dos (2,4,8...), dividimos entre dos (calculamos la mitad) sucesivamente.
32 : 2 = 16
32 : 4 = 32 : 2 : 2 = 16 : 2 = 8
32 : 8 = 32 : 2 : 2 : 2 = 16 : 2 : 2 = 8 : 2 = 4
32 : 4 = 32 : 2 : 2 = 16 : 2 = 8
32 : 8 = 32 : 2 : 2 : 2 = 16 : 2 : 2 = 8 : 2 = 4
Para dividir un número entre 5 (10 : 2), multiplicamos el número por 2 (calculamos el doble) y después lo dividimos entre 10 (quitamos un cero o corremos la coma un lugar a la izquierda).
85 : 5 = (85 x 2) : 10 = 170 : 10 = 17
240 : 5 = (240 x 2) : 10 = 480 : 10 = 48
324 : 5 = (324 x 2) : 10 = 648 : 10 = 64' 8
240 : 5 = (240 x 2) : 10 = 480 : 10 = 48
324 : 5 = (324 x 2) : 10 = 648 : 10 = 64' 8
La división por 5, también puede hacerse dividiendo primero entre 10 (quitamos un cero o corremos la coma un lugar a la izquierda) y después multiplicando por 2 (calculamos el doble).
85 : 5 = (85 : 10) x 2 = 8' 5 x 2 = 17
240 : 5 = (240 : 10) x 2 = 24 x 2 = 48
324 : 5 = (324 : 10) x 2 = 32' 4 x 2 = 64' 8
240 : 5 = (240 : 10) x 2 = 24 x 2 = 48
324 : 5 = (324 : 10) x 2 = 32' 4 x 2 = 64' 8
Para dividir un número acabado en uno o varios ceros, dividimos el número sin tener en cuenta los ceros y después añadimos los ceros al cociente.
120 : 4 = (12:4) x 10 = 3 x 10 = 30
6400 : 32 = (64:32) x 100 = 2 x 100 = 200
6400 : 32 = (64:32) x 100 = 2 x 100 = 200
Si el dividendo y el divisor terminan en uno o varios ceros, eliminaremos todos los que podamos, teniendo en cuenta que hay que eliminar los mismos ceros del dividendo como del divisor, para que el cociente no varíe.
80 : 40 = 8 : 4 = 2
3600 : 40 = 360 : 4 = (36:4) x 10 = 9 x 10 = 90
3600 : 40 = 360 : 4 = (36:4) x 10 = 9 x 10 = 90
EXTRA
Aplicaciones gratuitas para aprender matemáticas con Android
MyScript Calculator
Empezamos con una aplicación que nos llega de la mano de MyScript, una desarrolladora especializada en aplicaciones que sacan el máximo provecho de los stylus en nuestras tabletas. Se trata de una calculadora que traduce nuestra escritura, de manera que nosotros introducimos una operación de nuestro puño y letra y ella nos la resuelve.
El Rey de las Mates
¿Qué mejor manera de retar nuestros conocimientos matemáticos que un sencillo juego para poner a prueba nuestros reflejos? El Rey de las Mates es un sencillo juego en el que se nos planteará distintos tipos de operaciones y cuatro respuestas posibles, de manera que tengamos que acertar el máximo número posible de ellas en el mínimo tiempo que podamos.
Juego de Tablas
Con una mecánica muy parecida pero a la que se le añade la posibilidad de ser uno mismo el que escribe o dicta por voz las respuestas se no presenta Juego de Tablas. Se trata de un sencillo juego destinado para que los más pequeños de la casa empiecen a aprender y perfeccionar sus conocimientos de las tablas de multiplicar.
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Si sois estudiantes de primaria o universidad, es posible que os interese esta aplicación. Se trata de una calculadora gráfica que no sólo hace las funciones de calculadora científica mostrando los cálculos que se van realizando para ir siguiendo la operación, sino que también es capaz de realizar gráficos y genera automáticamente las direcciones y valores de X e Y.
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¿Qué mejor manera de aprender matemáticas que jugando? El título de este juego es bastante descriptivo, y en él tendremos que hacer frente a una invasión zombi utilizando como única arma nuestros conocimientos matemáticos. Los enemigos irán llegando y cada uno tendrá una operación sobre la cabeza, nosotros tendremos que ir resolviéndolas todas antes de que acaben con nosotros.
CalcTape Calculadora
Se trata de una completa calculadora que viene a ocupar el lugar de las clásicas calculadoras de rollo de papel, permitiéndonos llevar nuestras cuentas y realizar diferentes operaciones visualizando todo el proceso del cálculo, pudiendo generar subtotales y corregir o modificar cualquier cifra que se ha ido introduciendo durante la operación.
Algeo Graphing Calculator
Se trata de una de las calculadoras científicas más completas que os podéis encontrar en el catálogo de Android. Con ella seréis capaces de dibujar funciones, buscar intersecciones y ver las tablas de valores de las diferentes funciones con una sencilla interfaz muy fácil de utilizar.
Calculador Manual
Los ingenieros civiles y profesionales de la construcción también necesitan realizar cierto número de cálculos, y aunque anclada en una estética Android 2.0 esta aplicación es una de las más completas calculadora de equivalencias que se podrán encontrar. Con ella se podrá desde calcular superficies hasta el estado óptimo del cemento.
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Si sabéis hablar inglés, en esta aplicación tendréis a vuestra disposición un completo diccionario en el que podréis encontrar todo lo necesario para ampliar vuestros conocimientos matemáticos. Tiene un buscador que irá buscando según escribís, y también podréis añadir nuevos términos para que nunca más se os olviden.
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Se trata de otra aplicación especializada en facilitarnos todo tipo de fórmulas, en esta ocasión todas las relacionadas con la física o las matemáticas. La gran ventaja de esta aplicación es que en perfecta para corregir ejercicios, ya que tiene un modo de resolución de fórmulas en la que introduces los datos que sepas y ella te calcula el resto.
Medieval Math Battle
Volvemos con otro simpático juego que hará las delicias de los pequeños de la casa. Se trata de un juego de batallas por turnos en el que para defendernos de un amplio elenco de enemigos tendremos que responder correctamente las preguntas matemáticas que nos vayan apareciendo. Los problemas irán aumentando de dificultad según vayamos mejorando nuestro nivel.
GeoGebra
Y terminamos con todo un peso pesado como GeoGebra, la versión para Android de un software libre multiplataforma de matemática para la educación en todos sus niveles. Con ella podremos mejorar nuestros conocimientos en aritmética, geometría, álgebra y cálculo, teniendo a nuestra disposición recursos de probabilidad y estadística.