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Circuito eléctrico a implementar Datos: Resistencias: R1 = 1kΩ R2 = 2kΩ Capacitor = 1mF = 1×〖10〗^(-3) F (notación científica) Alimentador (con tensión constante) 24V Led Carga del capacitor: GIF Formulas Donde ------ Carga final ------ Capacitancia ------- Potencial eléctrico ------- Carga inicial ------- Resitencia ------- Tau (constante de tiempo) t ------- Tiempo Nota: para la carga se trabaja con la resistencia R1. Cuando el capacitor se haya cargado dejará de fluir la corriente eléctrica. Sustitución Esta es la carga final (aproximado), es decir será la carga que tendrá el capacitor ya cargado. Existen unos parámetros que nos permiten definir el tiempo de carga o descarga de un condensador conectado a una fuente continua mediante una resistencia. A este parámetro se le denomina constante de tiempo. Es el cálculo de Tau, es la constante de tiempo de carga del capacitor Este es el cálculo de la función de carga del condensador, observa que está en función del tiempo. Un condensador requiere una cierta cantidad de tiempo para cargarse al valor del voltaje aplicado. El tiempo depende de la capacidad (C) y de la resistencia total (R) en el circuito de carga. El tiempo necesario para que la carga alcance el 63.2% de su valor final se llama constante de tiempo capacitiva y está dada por constante de tiempo capacitiva Tomando en cuenta lo anterior, tomamos el 63% como el 100% Mediante una regla de tres. Ahora regresando a la función ya obtenida Tomamos el "Q de t" como el valor obtenido por el 63%, es decir: Despejando e^-t Para poder eliminar el exponente, aplicamos la propiedad del logaritmo natural: Entonces De esta manera obtenemos una aproximación de Tau que se calculó desde el principio Considerando condensadores ideales, se concluye que con un tiempo ,un condensador se carga o descarga un porcentaje del 63%, sobre su total. Aparte con 5𝜏, se completa la carga o descarga del mismo. El proceso de carga se completa cuando el condensador ya no admite más electrones de las placas de la fuente, en ese momento cesa el flujo de los mismos y se interrumpe la circulación de corriente. Entonces tiempo de carga del condensador De acuerdo al simulador utilizado a los 5 segundos el condensador se había cargado 23.84V aproximadamente 24V GIF Mediante un oscilador (Tektronix) se probó el circuito, el oscilador da una base de datos en Excel para poder apreciar con más claridad los resultados. Gráfica obtenida de la base de datos El cero u origen de la gráfica la tomamos en éste caso como 12.54s que es el momento en donde se realizó la carga del condensador. Así que si a 12.54 le sumamos 5 que es lo que representa 5Tau nos dará 17.54, y si situamos el puntero ahí, en la diferencia de potencial será aproximadamente la carga final 17.54s que representa 5s después de la carga, se puede ver que se ha cargado 24V Descarga del capacitor: GIF Formulas: ----> Donde ------ Intensidad de corriente inicial ------ Carga total ------ Capacitancia ------- Resitencia ------- Tau (constante de tiempo) t ------- Tiempo Nota: para la carga se trabaja con la resistencia R2. En éste circuito el led se prenderá y se irà apagando lentamente conforme se descarga el capacitor. Sustitución Con está formula se calcula la intensidad de corriente la cual está en función de la constante de tiempo Tau Ésta es la función de la intensidad de corriente que representa la descarga del capacitor La constante de tiempo para que la corriente de carga baje hasta el 36,8 de su valor inicial. En 2Tau la carga alcanza 86.5% de su valor final; en 3 Tau se llega al 95 % del valor final; y en 5Tau la carga alcanza el 99.3%, del valor total. Dado que la descarga de un condensador se produce a la misma velocidad, una constante de tiempo Tau es también el tiempo requerido por la carga para perder 63.2%, de su carga total inicial, o para bajar al 36.8%, de su valor inicial. En 2Tau, la carga disminuye el 100% - 86.5%, o sea 13.5% de su valor inicial; en tres constantes de tiempo, a 5% de su valor inicial y en cinco constantes de tiempo, la cargá declina hasta el 0.7% de su valor inicial. Éstos son también los tiempos requeridos para que la corriente de descarga disminuya el mismo porcentajes de su valor inicial durante la descarga. Ésta es la gráfica obtenida en el oscilador *Comparaciones Graficando las funciones obtenidas de carga y descarga, notese que la gráfica de la función de descarga se prolonga más. Observaciones El capacitor se cargó en 5s, poco en comparación a que cuando se descargó ya que si la resistencia es de poco valor será más fácil que fluya la corriente y en consecuencia se cargará más rápido. Al igual que si la constante del tiempo 𝜏 (Tau) es de pequeña magnitud se cargará más rápido. El capacitor tardó más en descargarse debido a que la resistencia se oponía a la corriente era mayor. No es posible que el capacitor quedé cargado con el mismo potencial eléctrico que de la fuente. Así como tampoco es posible que el capacitor quede totalmente descargado, o al menos no en éste caso ya que no había algún dispositivo de salida (output) que pudiera “consumir” la tensión que el capacitor tenía, ya que el led se a pago por completo cuando al capacitor le quedaba aproximadamente 5Volts puesto que la resistencia lo limitaba. Cargar como descargar el capacitor la intensidad de corriente, la tensión y la potencia están en función del tiempo. GIF

Es muy común que cada palabra se use indistintamente, sin embargo sus significados son distintos, este post tiene la finalidad de que sepas usar cada palabra de manera adecuada y si es el caso puedas identificarte. Para los taringueros nivel 5 marqué con negritas lo más importante, pero no está de más leer el post completo. Asocial Término utilizado para definir una conducta se dice que es la persona que le cuesta integrarse a la sociedad, esta actitud la decide la misma persona. Por lo regular una persona asocial no prefiere interactuar con la sociedad, y opta realizar actividades en solitario o que no incluya la ideología de otras personas. Las personas asociales suelen tener pocos amigo, sin embargo no les importa tener amigos, puesto que piensan que no pertenecen a la sociedad, a veces es por miedo de no poder encajar, o simplemente les gusta ser solitarios porque se sienten mejor consigo mismos. Ojo un asocial no tiene que ser un depresivo. Cuando se encuentran mezclados con la sociedad se distinguen por tener poca interacción, se les cataloga como serios, aburridos o cultos. Entonces se dice que el asocial tiene problemas con las normas ya establecidas, pero su inconformidad no hace que quiera omitir las reglas, puede estar muy bien integrado y oponerse simultáneamente. Podríamos decir que el asocial es una persona ermitaña que se limita a interactuar porque no soporta al resto de las personas. Antisocial Este término es utilizado para definir una enfermedad mental o trastorno psicológico, como el prefijo “anti” lo indica está en contra de la sociedad. El antisocial está consciente de que sus acciones son perjudiciales, pero un impulso los motiva a cometer actos que pueden llegar a ser considerados como delitos. El antisocial no muestra una aceptación hacía las normas establecidas y tampoco le interesa seguirlas; suele huir de la idea de encajar, porque cree que la manear en que actúa ya es la manera correcta. Los factores que producen este problema mental pueden ser genéticos o puede ser provocado por algún trauma psicológico muy serio, otro factor influyente puede ser el consumo de drogas. Se puede decir que el antisocial es una persona violenta que está en contra de cualquier otra ideología y no le importa dañar a la sociedad para demostrar su inconformidad. Y quien lo padece se le diagnostica “Trastorno antisocial de la personalidad”. Un ejemplo muy claro puede ser.- ·Compartes una opinión -Lo más probable es que el antisocial te cague a piñas por tener una ideología distinta a él y el asocial ni bola te va dar. Otro ejemplo.- Los monos del canal de NEGAS en Youtube El personaje Negas es el asocial... mientras que el personaje El pinchimono es el antisocial. ========================================= Bibliografía: -http://www.definicionabc.com/social/antisocial.php -http://conceptodefinicion.de/asocial/ -http://conceptodefinicion.de/antisocial/ -http://www.diferencia-entre.com/diferencia-entre-asocial-y-antisocial/ -http://cribeo.lavanguardia.com/actualidad/4254/no-es-lo-mismo-ser-antisocial-que-asocial-o-si

Este método sólo nos srive para la integral de una función racional simple (en especial del orden uno), pero si es posible hacer para funciones racionales más complejas, sin embargo para esa podemos usar el método de integracion de fracciones parciales. Aquí tenemos la integral de (x+1)/(x+2) Hacemos uso de la división sintética vista en álgebra. Acomodas todo como cuando aprendimos a dividir en la escuela elemental para facilitar las operaciones. Podrás ver que multiplicamos (x+2) por uno, entonces lo multiplicamos por uno y lo restamos con el numerador Ahora no ha quedado un -1 para poder restarlo y hacer que quede sin residuo, al denominador lo vamos a multiplicar por una función que nos de como resultado un -1, así podremos restarlo con ese -1 del residuo y obtener 0 Y la función que cumple con esa condición es el inverso del numerador: (x+2)^-1 Y eso es el equivalente de la función a integrar, ahora se ve más sencilla de realizar. Ahora integraremos el cociente obtenido Integraremos la función 1/(x+2) por sustitución simple. Tomamos al denominador como función para derivar, derivamos y la dx ha quedado libre. Finalmente la integral de 1/u da como resultado ln(|u|) y la integral de una constante da una variable, y así... ================================================================== Ahora el extra para que el post no fuera corto. La integral de una función exponencial que multiplica a otra función. O tamibén: "Integral de una función exponencial bucle" Digo bulce porque estas tipos de integrales aparentan ser interminables, pero no es así. Tenemos la integral de (e^2x)sin3x Comenzamos por el método de integración por partes, en este caso es muy recomendable derivar a la función exponencial e integrar el resto Aquí una imagen ilustrativa que tomé de un sitio para recordarte el método Obtenemos otra integral muy parecida a la original Recordemos que podemos sacar a las constantes de una integral y acomodando los signos obtenemos otra integral Se resolverá por el método de integración por partes también Acomodando las constantes obtenemos la misma integral origianl, pero esta vez no se va a integrar Ahora la sustituimos en donde debe ir Distribuimos la constante que multiplica Ahora sólo queda aplicar álgebra para deshacerse de la integral. Tenemos la integral original y le sumamos 4/9 de esa misma integral Obtenemos 13/9 y simplemnte despejamos esa integral para quitarle la constante obtenida Y el resultado se reduce simplemente a esto Cierro los comentarios(mucho tadinga está comentando) si te ayudó el post bien por tí. Creo que está suficientemente bien explicado. GIF

El experimento de la gota de aceite (oil-drop experiment) fue desarrollado por el físico estadounidense Robert Andrews Millikan en 1909, dicho experimento consistía en dejar caer gotas de aceite mediante un atomizador dentro de una cámara, cuya base estaba formada por dos placas paralelas y horizontales conectadas a una fuente eléctrica de alta tensión, así estarían cargadas eléctricamente, introdujo una fuente de rayos X que al contacto con la materia crea una carga, así las gotas tomaban una carga eléctrica, las gotas caían por efecto de su peso, debido a la fuerza de gravedad, sin embargo el campo eléctrico que emitían la placas provocaba un efecto eléctrico; en función del tamaño de la gota y de la fuerza eléctrica podrían ocurrir tres eventos: *Si la fuerza de gravedad era mayor que la fuerza de repulsión eléctrica, la gota seguía cayendo, aunque a menor velocidad. *Si la fuerza de repulsión eléctrica era mayor que la fuerza de gravedad, la gota de aceite invertía el sentido de su movimiento y subía. *Si ambas fuerzas se igualaban la gota permanecía quieta en el aire. GIF El objetivo ahora era la cuantificación de la carga que llevaba una gota de aceite, el resultado dependía de dos pasos: 1.- La determinación de la masa o radio midiendo la velocidad de caída en ausencia de campo eléctrico. Cada gota cae bajo la acción de su propio peso, pero la fuerza de la gravedad es anulada por la resistencia del aire, por lo que cae con velocidad límite constante. Midiendo esta velocidad se determina el radio de la gota. Despreciamos la fuerza de empuje del aire, ya que la densidad del aceite es del orden de 800 kg/m3 y la densidad del aire tan sólo de 1.29 kg/m3. GIF Suponiendo que la gota es una esfera de radio R. Cuando se mueve con velocidad constante. Entonces la velocidad incrementa de tal que la fuerza de la fuerza de la viscosidad se anula a la de la velocidad *Despejando la velocidad (constante) Ahora Millikan necesitaba conocer las dimensiones de la esfera, así que tomó la ecuación de la densidad y así pudo calcularlo. *Despejando radio 2.- La determinación de su carga midiendo la velocidad en presencia de campo eléctrico. Cuando se aplica una diferencia de potencial a las placas del condensador se establece un campo eléctrico. El sentido del campo eléctrico es tal, que la gota se eleva con velocidad uniforme. Midiendo esta velocidad se determina la carga de la gota. Si la gota ha adquirido una carga positiva q y está en un campo E dirigido hacia arriba, las fuerzas sobre una gota ascienden. GIF Ha alcanzado la velocidad límite constante *Despejando la velocidad nueva (con el campo desconectado) *Despejando la carga GIF En resumen para una gota estacionaria se puede le calcular la carga si se conoce su masa lo cual era lo más difícil del experimento. La masa de un cuerpo es igual al producto del volumen por la densidad. Millikan obtuvo la densidad del aceite, y así obtuvo el tamaño con toda precisión, el volumen estaría en función del radio, en consecuencia era necesario medir el radio de la esfera. Millikan utilizó un método indirecto el cual consistía en apagar la corriente de las placas con el fin de que las gotas cayeran y permitiera medir la velocidad de caída, valiéndose de la ley de Stokes de la mecánica de fluidos pudo determinar el radio de la gota. Millikan repitió el experimento varias veces con gotas de múltiples tamaños, algunas gotas ganaban o perdían distintas cantidades de electrones. Todos los resultados demostraron ser múltiplos (en un rango aproximado de 5 y 20 veces) de una carga básica: 1.6022×〖10〗^(-19) C GIF

Este es un post sobre ecuaciones diferenciales, es un post básico, no uso vocabulario científico como en un libro, pero trato de explicar cada método lo más explícito posible. CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES MÉTODO CAMBIO DE VARIABLE MÉTODO FACTOR INTEGRANTE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS ECUACIÓN DE BERNOULLI MÉTODO ALTERNATIVO DE BERNOULLI ECUACIÓN DE RICCATI ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN MÉTODO POR COEFICIENTES INDETERMINADOS MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS ECUACIONES DIFERENCIALES: APLICACIONES DE MODELADO PARTE 1 PARTE 2 Definición: Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que relaciona una función y sus derivadas. Forma más simple de expresar una Eq. Dif: Donde: En una ecuación diferencial envuelve variables dependientes e independientes CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Es importante saber clasificarlas para saber qué método aplicar para resolverlas. ·Orden. - corresponde al orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Ejemplo: 1º orden: 2º orden: 3º orden: Obsérvese que en la ecuación de 2º orden y’ está elevada a la 5º potencia, sin embargo, no se trata de una ecuación de 5º grado, ya que eso no eleva el orden de la derivada. ·Linealidad. - una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir de la forma: *Cada coeficiente depende de (x) Una ecuación diferencial es homogénea si: Son ecuaciones diferenciales lineales, cuyo término independiente es nulo y se puede representar: Es posible determinar el grado y comprobar si se trata de una ecuación homogénea o una no homogénea. Una función f(x,y) es de grado n si: Ejemplo: Verificar el grado de la ecuación diferencial Y así quedó comprobado el orden de la ecuación diferencial. A partir del modelo de la siguiente ecuación diferencial: Es homogénea si las funciones M y N son del mismo grado, y para comprobar el grado se tendrá que aplicar el método anterior. Ejemplo: Tomando el ejemplo anterior, es homogénea, puesto que ambas resultan ser de grado 3. Ahora para la siguiente función es una ecuación diferencial no homogénea Pues al hacer la comprobación quedaría: Teniendo en cuenta lo anterior, ya se puede comenzar a ver los distintos métodos que existen para llegar a la solución de una ecuación diferencial. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Es el método más sencillo sólo podrá servir para ecuaciones diferenciales en los que se pueda separar las variables por medio de métodos algebraicos, además la ecuación debe ser de primer orden. Modelo: Separando las variables Ahora integrando Para dar la solución general busca siempre despejar a y, siempre toma la constante al integrar la variable dependiente (x en este caso), pero no la de la variable independiente (en este caso es y). Solución general Aunque es común que también sea expresado de la siguiente forma Ahora otro ejemplo Separando variables Integrando Si se aplica división sintética entre funciones Visita este tema para ver paso a paso ese tipo de integral Solución general * Para algunos casos no será posible despejar completamente la variable independiente, en este caso puede que sí, pero no quiero hacerlo. En este método lo más importante quizá, es saber aplicar álgebra para poder despejar las variables y además ser hábil integrando, es más, no sólo en este método sino para todos los métodos de ecuaciones diferenciales. MÉTODO CAMBIO DE VARIABLE No siempre será posible despejar las variables y para eso, se cuenta con un método en el que se hace un cambio de variable, estos cambios de variable son comunes usarlos en otros métodos, usando una función estándar como base. Ejemplo: Es prácticamente imposible separar las variables por métodos algebraicos. Ahora se buscará siempre aplicar álgebra con el fin de que quede al menos un término en especial para el cambio de variable (y/x) Ahora nos ha quedado ese término especial Cambio de variable Así como también Sustituyendo en la ecuación Derivando ux con respecto a x Ahora tenemos una ecuación más sencilla en el que podemos aplicar el método anterior Integrando Pero u es y/x y C es una constante, por lo que si se opera con logaritmo natural seguirá siendo una constante y la suma de dos logaritmos es la multiplicación de ambos, por lo que. Solución general Soluciones particulares Las soluciones partículas son cuando a la ecuación diferencial se requiere una solución especifica en la frontera. Del ejemplo anterior si se pide la solución particular cuando y(2)=4 Tratando de despejar C con exponencial Ahora que sabemos el valor de la constante de integración, podemos sustituirla en la solución general y así obtener la solución particular MÉTODO FACTOR INTEGRANTE Este método es aplicable en ecuaciones lineales homogéneas, se debe llevar la ecuación a un modelo definido, a eso se le llamará “normalizar”. Forma general: Al normalizar se tiene que encontrar un factor integrante, tal que: Después multiplicar el factor integrante por la ecuación general: Ejemplo: Normalizar, buscar que la ecuación dada tenga la forma de la forma general Despejando la derivada Ahora queda determinar el factor integrante en la ecuación Multiplicando Ahora integrando por ambos lados la ecuación diferencial De esta manera la integral se cancela y al integrar cero se conserva su constante de integración. Despejando y(x) para para la solución general Otro ejemplo Despejando y’ Por propiedades de logaritmo y exponenciales la constante se vuelve potencia de x “quien se libera del logaritmo gracias al exponencial”. Ahora μ multiplica a la ecuación diferencial Integrando Solución general ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Ahora este es un caso especial de ecuaciones, las cuales cumplen con ciertas condiciones. Tenemos una ecuación con el modelo Para que sea una ecuación diferencial exacta debe cumplir lo siguiente: La derivada parcial de M con respecto a y deberá ser igual a la derivada parcial de N con respecto a x Nota. En algunos textos se escribe así: Una vez que cumpla con la condición se seguirá una serie de pasos para resolver la ecuación dada. En el paso 4 consiste en tomar g(y) del paso 3 y sustituirlo en lo obtenido del paso 1 y finalmente igualarlo a C. Ejemplo: Se ha determinado que la ecuación diferencial si es exacta Ahora, como si se tratase de una doble integral con respecto a x y, al integrar M(x,y) trata a y cuan una constante Ahora del resultado obtenido, se busca su derivada parcial con respecto a y Ahora se busca la anti derivada de g’(x) para conocer g(x), pero es cero, así la solución particular es Otro ejemplo Al buscar la anti derivada de g’(y) se integra con respecto y Solución particular ECUACIÓN DE BERNOULLI Le ecuación de Bernoulli es el modelo de una ecuación diferencial de primer orden no lineal, este método lleva un proceso un poco largo, sin embargo, no difícil. Para llegar a la solución general se tiene que seguir el siguiente algoritmo. 1.Liberar a y’ si es que no está libre, luego encontrar a r 2.Hacer cambio de variable de tal modo que 3.Despejar y en el cambio de variable 4.Derivar lo anterior respecto a x 5.Con los nuevos valores sustituir en la ecuación diferencial 6.Hacer algebra hasta llegar a una ecuación modelo 7.A continuación, utilizar las siguientes formulas: 8.Hacer un último cambio de variable por y en vez de u Ejemplo: Despejar y’ Análogamente Derivando respecto x Ahora que se ha obtenido una nueva “equivalencia” para y’, se debe sustituir en la ecuación diferencial Ahora despejando du/dx y reduciendo los demás términos Se ha llegado al modelo de ecuación diferencial del paso 6, considera que para Up f(x) es -2x^3 Ahora se deberá encontrar Uc Después se deberá encontrar Up Ahora que se sabe Uc y Up queda sumarlos para obtener U Pero Entonces Esa es la forma de resolver la ecuación diferencial de Bernoulli, pero no es la más sencilla, ya que esas fórmulas generan integrales complejas. Por lo que es mejor emplear un método alternativo más rápido de resolver, pero es importante conocer las formulas anteriores para futuros usos en la solución de ecuaciones diferenciales. MÉTODO ALTERNATIVO DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI (RECOMENDADO) Tomando el ejemplo anterior Despejar y’ Análogamente Derivando respecto x Ahora que se ha obtenido una nueva “equivalencia” para y’, se debe sustituir en la ecuación diferencial Ahora despejando du/dx y reduciendo los demás términos Se ha llegado al modelo de ecuación diferencial del paso 6 Hasta ahora todo ha sido igual pero aquí es donde comienza la manera alternativa. Lo siguiente es resolver por factor integrante. Ahora se debe multiplicar la ecuación de Bernoulli por el factor integrante Obsérvese en la ecuación resultante lo siguiente Se ha conseguido las derivadas de cada término Ahora es momento de aplicar asociación de derivada Ahora sólo queda integrar por ambos lados La integral de la izquierda se ve a anular con la derivada d/dx, y es importante que se conserve la constante de integración de la parte derecha Despejando u Pero Entonces Se ha llegado a la misma solución general, desde ahora en los demás ejemplos se utilizará este método por su facilidad, pero sobre todo porque este no genera integrales complejas. ECUACIÓN DE RICCATI La ecuación diferencial de Riccati es un método en el que se busca descomponer la ecuación en una más simple por medio de un cambio de variable como con el método anterior. Se trata de llevar siempre la ecuación a un determinado modelo Al igual que Bernoulli se debe seguir un algoritmo adecuado. Ahora se busca una solución particular para la ecuación, en determinados casos ya la da. De no ser así se busca mediante un cambio de variable por y, el cual debe cumplir con la igualdad de la ecuación. Una vez encontrado una posible solución particular, queda comenzar a resolver la ecuación con un cambio de variable otra vez, tal como con Bernoulli, hacer algebra para reducir lo más posible. De nuevo se ha obtenido una ecuación más sencilla de resolver, la ecuación resultante se podrá resolver con algún método ya visto. Ejemplo. - Una ecuación diferencial con la solución particular: El cambio de variable consiste en sumar u a la solución particular, y tomar ese valor como y Reemplazando Derivando con respecto a x Ahora se tiene los nuevos valores para y ˄ y’ Sustituyendo en la ecuación diferencial Desarrollando y reduciendo términos Ahora se ha llegado a una ecuación diferencial de Bernoulli Ahora Sustituyendo en la ecuación diferencial de Bernoulli (no la de Riccati). Despejando v’ Resolviendo por factor integrante Ahora Asociando la derivada Integrando Importante no olvidar la constante de integración en esta parte Despejando v Pero Entonces Ahora un ejemplo en el que se busca la solución particular de la ecuación. Reacomodando Se aprecia que ya tiene la forma del modelo P(x)y + Q(x)y^2 + R(x) = y’ Buscando una solución particular, comenzando con x, a veces x puede ser la posible solución para varias ecuaciones (no siempre es así). Sustituyendo en la ecuación, para comprobar si es una posible solución particular. Se ha comprobado que x si califica para ser una solución particular Ahora sigue resolver la ecuación, comenzando con un cambio de variable, se le suma una u a la solución particular. Ahora se deriva con respecto x Con los nuevos valores obtenidos para y ˄ y’ se sustituye en la ecuación Aplicar álgebra Reacomodando se obtiene una ecuación diferencial de Bernoulli Y el método para encontrar la solución es el mismo, así que aquí termina el ejemplo. No siempre se va obtener una ecuación de Bernoulli al simplificar una ecuación de Riccati, a veces es más simple y se obtiene una ecuación que se puede resolver con algún método más sencillo como separación de variables. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN Comenzarán las ecuaciones diferenciales de segundo orden, primero se tratarán con las ecuaciones lineales de coeficientes constantes. Se plantea una posible solución de la ecuación diferencial dada, para eso se hace uso de algo así como una función estándar y esta servirá para poder hacer el cambio de variable. Para poder hacer el cambio de variable con la ecuación es necesario derivar esa función estándar, pero como se trata de una ecuación de segundo orden se aplicará doble derivada. Una vez que se hizo el cambio de variable se factorizará la ecuación estándar para después obtener una ecuación algebraica de segundo orden. Luego quedará resolver esa ecuación con cualquier método algebraico. Se tiene una ecuación diferencial lineal de segundo orden Ecuación diferencial estándar: Derivando (1° y 2° derivada) Sustituyendo en la ecuación diferencial Factorizando e^rx Pero no todas las ecuaciones tienen soluciones reales. Así que para eso se cuenta con tres posibles casos. Caso I Solución general Caso II Solución general Nótese que a la C2 se le multiplica x, esto es con el fin de distinguirlas. Caso III A partir de la función Solución general Ejemplos Usando la función estándar Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando Encontrando los valores de r Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula de la solución general Otro ejemplo: Usando la función estándar Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando Encontrando los valores de r Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula de la solución general Otro ejemplo: Usando la función estándar Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando Encontrando los valores de r, pero el producto de 4ac es mayor a b^2 por lo que dará una solución imaginaria Así que ahora se calculará beta y alpha Sustituyendo en la fórmula de la solución general Con la práctica ya no será necesario hacer los pasos de hacer la 1° y 2° derivada, y será fácil ver sólo se hace uso de los coeficientes de la ecuación diferencial para resolver la ecuación algebraica de segundo orden. Más ejemplos ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER Para una ecuación diferencial con coeficientes variables Al igual que en el anterior método se hace uso de una función estándar, se sustituye y dependiendo de la ecuación algebraica obtenida se obtendrá la solución general. Aquí las formulas cambiaran un poco a las anteriores, es importante no confundirlas. Función estándar, donde m es una constante La forma de encontrar la ecuación algebraica de segundo orden es idéntica para cualquiera de los casos, lo que va a cambiar será las fórmulas de las soluciones generales Caso I Solución general Caso II Solución general Caso III Solución general ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN Una solución de una ecuación diferencial se compone de la siguiente estructura Donde: Yh es la solución homogénea Yp es la solución particular Y es solución general Ya se sabe cómo calcular la solución homogénea de una ecuación diferencial, pero ahora esta vez se trata de una no homogénea, por lo que se debe obtener la solución particular también, y así se podrá obtener la solución particular Existen diferentes métodos para obtener la solución particular. MÉTODO POR COEFICIENTES INDETERMINADOS En este método se utilizan formulas predeterminadas para poder resolver la solución particular, prácticamente se resuelve a base de métodos algebraicos. En realidad, la solución particular es la misma que si se tratará de una ecuación homogénea de 2° orden, lo importante es obtener la solución particular. Para encontrar la solución particular en este método se necesita de ciertas formulas, para ello hay una tabla con algunos de sus ejemplos más típicos. El algoritmo para obtener la solución particular es el siguiente: -Identificar que formula, o bien, que combinación de fórmulas se debe utilizar - Una vez identificada la fórmula o combinación de fórmulas, se hará un cambio de variable, la formula tomará el lugar de y, pero al ser una ecuación diferencial de 2° orden, será necesario derivar dos veces para que pueda tomar el lugar de y, y’ ˄ y’’. -Ahora queda sustituir en la ecuación diferencial y reducir al máximo de manera algebraica, es importante agrupar los términos semejantes por medio de la factorización y al igualarse con g(x) estos se podrán eliminar y así obtener los valores de A, B, C, etc., por medio un sistema de ecuaciones, una vez encontrado sus valores quedará sustituir en la fórmula escogida desde un principio. Ejemplo. - Obtener la solución general de la ecuación diferencial. Si se pide la solución general, significa que se tiene que obtener la solución homogénea y la solución particular, se recomienda comenzar por obtener la homogénea. Ahora queda encontrar la solución particular, como se trata de una constante que es 6, es fácil ver que se trata únicamente de A Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial. Pero la derivada de una constante es 0. Así la solución general será Otro ejemplo, un poco más complejo. Para la solución particular se tiene que. Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial Reduciendo y factorizando. Igualando con g(x) Resolviendo el sistema de ecuaciones En caso de no confiar en el resultado de los valores de A, B y C se puede comprobar de una manera sencilla, sustituyendo los valores en la ecuación diferencial. Sustituyendo los valores obtenidos para la solución particular. Entonces la solución general Ahora otro ejemplo Para la solución particular Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial. Sustituyendo el valor de A para la solución particular. Entonces la solución general Otro ejemplo La ecuación de 2° orden tiene soluciones imaginarias, por lo que al resolver con el método ya visto β=1 y α=0 Para la solución particular Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial. Y al igualar con g(x) se tiene que Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales Sustituyendo los valores para la solución particular. Entonces la solución general Este método es rápido y sencillo cuando g(x) es una función lineal o una función exponencial, sin embargo, cuando la solución particular resulta la combinación de dos o más funciones, las ecuaciones se vuelven más complejas y más aún cuando hay funciones trigonométricas. Por lo que se recomienda utilizar el siguiente método. MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS En con este método se puede resolver ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas, sin importar la naturaleza de g(x) o f(x), además se puede aplicar a una ecuación con coeficientes variables. Se tiene el modelo Se tiene que la solución homogénea de la ecuación es La solución particular está definida por una formula Donde U1 ˄ U2 son: Donde W, W1, W2 son: Así la solución general será El resultado de la solución particular, depende la solución homogénea, por lo que es necesario obtenerla desde el principio. Para obtener W, W1, W2 es un procedimiento especial conocido como wronskiano, consiste en el determinante (en este caso de 2x2) de funciones. <Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente> Ejemplo. – Ahora el procedimiento wronskiano Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2 Formando la solución particular Reduciendo Finalmente la solución general Otro ejemplo Ahora el procedimiento wronskiano Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2. Como W resulta ser uno, entonces no es necesario dividir, tan sólo integrar directamente a W1 y W2. Formando la solución particular Finalmente la solución general Otro ejemplo. – Ahora el procedimiento wronskiano Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2. Visita este tema para ver paso a paso ese tipo de integral Formando la solución particular Finalmente la solución general ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- POST RECOMENDADO Para complementar este post, en las siguientes ligas podrás ver las aplicaciones más comunes de las ecuaciónes diferenciales: ECUACIONES DIFERENCIALES: APLICACIONES DE MODELADO PARTE 1 PARTE 2 Por el usuario @akak92 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- El libro que recomiendo porque me sirvió mucho: Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems William E. Boyce · Richard C. DiPrimo AUTOR: LFA-R35

Ford GT90 Concept En 1995 Ford estaba listo para dar a conocer el auto que sería el digno sucesor del campeón de las carreras Le Mans GT40 [Fig 01] Fig 01.- Ford GT40 Le Mans Se trataba del Ford GT90 Concept que fue hecho público en enero de 1995 en el auto show de Detroid; fabricado con 3 millones de dolares, en tan sólo 6 meses (un tiempo record para semejante auto y considerando la época), la razón es porque en ese entonces Ford era dueño de una parte de la marca Jaguar, por lo que fabricó el auto a partir de algunas piezas (como la transmisión y la suspensión) del super auto XJ220 [Fig 02]. Fig 02.- Jaguar XJ220 El GT90 estaba equipado con un motor V12 central con tracción trasera, el cual daba 720 hp (537 KW), con 4 turbos, una caja de cambios de 5 velocidades, sin embargo para Ford era inusual ese tipo de motores y por tanto no fabricado, por lo que tuvieron que fusionar dos motores V8 Lincoln quitandoles dos cilindros a cada uno. ¡El motor generaba tanto calor que el material que rodeaba los escapes se derretian, por lo que tuvieron que cambiarlo por un material cerámico muy similar al que usaban en la NASA en los transbordadores espaciales! El auto podía acelerar de 0-100 km/h en tan sólo 3.01 s y llegar a una velocidad máxima de 379 km/h, sin embargo se estimaba que podía alcanzar 408 km/h. Considerando que el auto más rápido de la época el McLaren F1 [Fig 03] podía llegar de 386 -392 km/h Fig 03.- McLaren F1 Con el equipamiento que podría tener un avión caza el GT90 estaba construído con una cúpula integral transparente de cristal laminado y tintado que cubría el habitáculo, y un chasis monocasco de aluminio revestido con paneles de fibra de carbono. Finalmente en el 2002 se presentaría el Ford GT40 Concept [Fig 04], visualmente un prototipo muy parecido al legendario ganador del Le Mans. Fig 04.- Ford GT40 Concept 2002 El GT90 sólo se usaría para presentaciones hasta el año 2009, año en el que se subastó y desde aquel entonces no se volvería a saber de él. El GT90 tuvo aparaciones en videojuegos como Need Ford Speed II, Toca Racer 2 y 3, Ford Racing 1, 2 y Street Racing, Gran Turismo 2, entre otros. GIF GIFGIF GIF